X
تبلیغات
ریاضیدان ها
ریاضی
 
 

مقاله تاریخچه ی ریاضیات

انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه‌هایش را می‌داند انجام می‌داد. اما بزودی مجبور شد وسیلة شمارش دقیقتری بوجود آورد. لذا، به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن ۶۰ بود. این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می‌باشد قدیمی‌ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن‌ترین مدارک موجود یعنی نوشته‌های سومری مشاهده می‌شود.

سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین‌النهرین، یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود ۲۵۰۰ سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی، عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.

در این موقع مصریها نیز در سواحل سفلای رود نیل تمدنی درخشان پدید آورده بودند. طغیان رود نیل هر سال حدود و ثغور زمینهای زراعتی این قوم را محو می‌کرد. احتیاج به تقسیم مجدد این اراضی موجب رهبری آنها به اولین احکام سادة هندسی گردید. همچنین مبادلات تجارتی و تعیین مقدار باج و خراج سالیانه آنها را وادار به توسعه علم حساب نمود این اطلاعات همگی از روی پاپیروسها و الواحی است که در نتیجه حفاریها بدست آمده و به خط هیروگلیفی می‌باشد. قدیمی‌ترین آنها که مربوط به ۱۸۰۰ سال قبل از میلاد است شامل چند رساله دربارة علم حساب و مسائل حساب مقدماتی می‌باشد، از آن جمله رسالة پاپیروس آهس است که درسال ۱۸۶۸ توسط ایسنلر مصرشناس مشهور ترجمه شد. سایر تمدنهای شرقی نظیر چینی و هندی در ترویج دانش نقش مؤثری نداشته‌اند و جز برخی نتایج پراکنده که در زیر فشار مفاهیم ماوراءالطبیعه خرد شده است چیزی از آنان در دست نیست.
قریب هزار سال پس از نابودی فرهنگ قدیم مصر و محو تمدن آَشور، یونانیان از روی مقدمات پراکنده و بی‌شکل آنها علمی پدید آوردند که در واقع به عالیترین وجه مرتب و منظم گردیده و عقل و منطق را کاملاً اقناع می‌نمود.

نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (۶۳۹_۵۴۸ق.م) است که در پیدایش علوم نقش مهمی بعهده داشته و می‌توان ویرا موجد علوم فیزیک ، نجوم و هندسه «تشابه» به او کاملاً بی‌اساس است.

در اوایل قرن ششم ق.م. فیثاغورث (۵۷۲_۵۰۰ قبل از میلاد) از اهالی ساموس یونان کم‌کم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مکتب فلسفی خویش همت گماشت. فیثاغورثیان عدد را بخاطر هم‌آهنگی و نظمی که دارد اساس ومبدأ همه چیز می‌پنداشتند و بر این عقیده بودند که تمام مفاهیم را به کمک آن می‌توان بیان نمود.

پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی که در ۴۹۰ق.م در ایلیا متولد شده است نام ببریم.

در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی کیوس فضاهایی متفرق آن زمان را گردآوری کرد و در حقیقت همین قضایا است که مبانی هندسة جدید ما را تشکیل می‌دهند.

در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعداز او نیز همچنان برپا ماند. وی ریاضیات مخصوصاً هندسه را بسیار عزیز می‌داشت، تا جائی که بر سردر مکتب خود این جمله را حک کرده بود: «هرکس هندسه نمی‌داند به اینجا قدم نگذارد». این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضیدان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبت‌ها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیر عادی ندارد و می‌توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها بکار برد.

در این احوال اسکندر کشورها را یکی پس از دیگری فتح می‌کرد و هرجا را که بر روی آن انگشت می‌نهاد مرکزی از برای پیشرفت تمدن یونانی می‌شد.

پس از مرگ این فاتح مقتدر در ۳۲۳ق.م و تقسیم امپراطوری عظیم او، مصر بدست بطلیموس افتاد و امپراطوری بطالسه را تشکیل داد. بطالسه که اسکندریه را به پایتختی برگزیده بودند تمام دانشمندان را بدانجا پذیرفتند و همین دانشمندان در صدد ایجادکتابخانة بزرگی در این شهر ساحلی برآمدند و به توسعه و تکمیل آن همت گماشتند.

اکنون به زمانی رسیده‌ایم که بایستی آنرا عصر طلائی ریاضیات یونان نامید. اهمیت فوق‌العاده این دوره به سبب ظهور سه عالم بزرگ ریاضی یعنی اقلیدس ، ارشمیدس و آپولونیوس است که هم در دوران خود و هم برای قرون بعد از خویش شهرتی عالمگیر کسب نمودند.

در قرن دوم ق.م نام تنها ریاضیدانی که بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارک بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ که بین سالهای ۱۶۱تا ۱۲۶ق.م در رودس متولد شد گامهای بلند و استادانه‌ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع کرد.

هیپارک نخستین کسی بود که تقسیم‌بندی معمولی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را نیز به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی تابع شعاع دایره بدست آورد که وترهای بعضی از قوسها را می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.

در سال ۴۷ق.م که ژول سزار نیروی دریایی مصررا آتش زد، در کتابخانه بزرگ اسکندریه نیز حریقی ایجاد شد که قسمت اعظم آنرا نابود ساخت. بالاخره در سال ۳۰ق.م به هنگام امپراطوری ملکه کلئوپاترا کشور مصریکی از ایالات امپراطوری روم شد.

در این دوره کوتاه از کشفیات جدید خبری نبود و دانشمندان متوسطی نظیر بطلیموس، منلائوس و باپوس نیز که ظهور کردند تنها به تعلیم و انتشار آثار قدما اکتفا نمودند.

بطلیموس که به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارددر تعقیب افکار هیپارک کوشش بسیار کرد.

کتاب مشهور او به نام اصلی«ترکیب ریاضی» شامل یک دستگاه هیأت بیان حرکت دورانی اجسام سماوی و یکدورة کامل مثلثاتکروی و مستقیم‌الخط و توضیح و محاسبة نمودهای حرکت بومی است. این کتاب را درسال ۸۲۷ از یونانی به عربی ترجمه کردند ونام آنرا مجسطی یعنی «بسیار بزرگ» نهادند و از آن پس به همین نام باقی ماند.

منلائوس که در اواخر قرن اول میلادی در اسکندریه می‌زیست به امر امپراطور دومی سین کتابی تألیف کرد که قضیه معروف منلائوس دربارة چهارضلعی محاطی در آن ذکر شده است.

پاپوس که دورة زندگانیش در حدود ۳۵۰ میلادی بوده است دارای کتابی است به نام «مجموعة ریاضیات». هدف وی از تدوین این کتاب آن بوده است که به اختصار نتایجی را که از بدو پیدایش علم هندسه تا آن زمان حاصل شده بود برای خود بیان نماید. با این حال در موارد بسیار احکام جدید و جالبی که از اکتشافات خودش می‌بود و بر آن افزود. مسألة معروف پاپوس که در همه کتابهای هندسة ما وجود دارد و قضیه بسیار مهم تعیین مرکز نقل سطوح و احجام که برخلاف واقع آنرا به گولدن نسبت داده‌اند.

در این احوال هندوستان به منزلة یک مرکز جدید روشنفکری توسعه می‌یافت و چنین به نظر می‌رسید که علم بدانجا فرار کرده و یا به عبارت بهتر فقط آنجا را مقام خود ساخته است. زیرا سابق براین در زمان یونانی‌ها نیز در آنجا وجود داشته است. علوم هندی بیش از علوم تمام ممالک دیگر که تاکنون از ایشان سخن گفتیم در خدمت مذهب بود وشامل بعضی مقدمات علم طب یعنی همانقدر که برای ساختن مشروبات مقدس کفایت می‌کردو مختصری از علوم نجومیعنی درست همان اندازه که برای تشکیل تقاویم مذهبی مورد نیاز است و اندکی هندسه، مرکب از بعضی طرق عملی که برای ساختن مسجد و محراب لازم است بیش نبود.

در نخستین قرون تاریخ چهار ریاضی‌دان مشهور در این کشور وجود داشت که عبارت بودند از:

آپاستامبا(قرن پنجم)، آریاب هاتا (قرن ششم)، براهماگوپتا (قرن هفتم) و بهاسکارا (قرن نهم) که در کتب ایشان بخصوص قواعد تناسب ساده و ربح مرکب مشاهده می‌شود. محاسبات در این کتابها جنبه شاعرانه داشت و حتی نام علم حسابرا «لیلاواتی» گذارده بودندکه معنی دلبری و افسونگری دارد! با شروع قرن دهم پیشرفت کشفیات ریاضی در هندوستاننیز متوقف گردید و مشعل فروزان علم بدست اعراب افتاد.

در سال ۶۲۲م که حضرت محمدصلی الله علیه و آله وسلماز مکه هجرت فرمود در واقع آغاز شگفتی تمدن اسلام بود. اعراب که جنبش شدید خود را از سدة هفتم آغاز کرده بودند پس از رحلت پیغمبر اسلام در ۶۳۲ به توسعه سرزمینهای خود پرداختند و بزودی تمام ممالک آفریقائی ساحل مدیترانه را متصرف شدند و این توسعه‌طلبی ایشان را در اروپاتا اسپانیاو در آسیاتا هندوستانکشانید و در نتیجه تماس با کشورهای مغلوب که مردم آنها غالباً دارای تمدن عالی بودند ذوق شدیدی به آموختن در ایشان بوجود آمد. لذا با سهولت و چالاکی فرهنگ ممالک دست نشانده را پذیرفتند.

در زمان مامون خلیفه عباسی تمدن اسلام بحد اعتلای خود رسید بطوری که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی علمی بین‌المللی گردید.

از ریاضی‌دانان بزرگ اسلامی یکی خوارزمیمی‌باشد که در سال ۸۲۰ به هنگام خلافت مأمون در بغدادکتاب مشهورالجبر و المقابله را نگاشت.

وی در این کتاب بدون آنکه از حروف و علامات استفاده کند، حل معادلة درجه اولرا بدو طریقی که ما امروزه جمع جبری جمل و نقل آنها از یکطرف بطرف دیگر می‌نامیم، انجام داده است.

دیگر ابوالوفا (۹۹۸_ ۹۳۸) است که جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورده و بالاخره محمدبن هیثم(۱۰۳۹_ ۹۶۵) معروف به الحسن را باید نام بردکه صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوماست.

قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یکی از دردناکترین ادوار تاریخی اروپاست. عامة مردم در منتهای فلاکت و بدبختی بسر می‌بردند. جنگهای متوالی و قتل و غارت و از طرف دیگر نفوذ کلیسا آنچنان فکر مردم را به خود مشغول داشته بود که هیچ کس فرصت آنرا نمی‌یافت که در فکر علم باشد، آری مدت هفت قرن تمام اروپا محکوم به این بود که بار گران جهل و نادانی را بر دوش کشد. در اواخر قرن دهم ژربر فرانسوی کوشید تا به کمک مطالبی که در چند مدرسه از کلیساهای بزرگ اروپا آموخته بود پیشرفت جدیدی به علوم مقدماتی بدهد. وی دستگاه مخصوص را که برای محاسبه بکار می‌رفت اصلاح کرد. این دستگاه همان چرتکه بود.

برجسته‌ترین نامهائی که در این دوره ملاحظه می‌نمائیم، در مرحله اول لئوناردیوناکسی (۱۲۲۰_۱۱۷۰) ریاضی‌دان ایتالیائی است. وی که مدتهادر مشرق زمین اقامت کرده بود، آثار برخی از دانشمندان اسلامی را از آنجا به ارمغان آورد. همچنین برای اولین بار علم جبررا در هندسهمورد استفاده قرار داد. دیگر نیکلاارسم فرانسوی می‌باشد که باید او را پیشقدم هندسه تحلیلیدانست. وی اولین کسی است که نه تنها مجذور و مکعب و توانهای چهارم و پنجم اعدادرا در نظر گرفت بلکه اعدادرا بقوای کسری از قبیل یک دوم و دو سوم و یک هفتم و غیره نیز رسانید و به عبارت دیگر وانهای کسری اعدادرا بدست آورد.

در قرن پانزدهم ترقی فنی، پیشرفت علوم نظری را تحت‌الشعاع خود را قرار داد. اختراع چاپ در سال ۱۴۴۰ بوسیله گوتنبرگ سبب آن شد که تعداد کتاب در جهان با سرعتی صاعقه‌آسا رو به افزایش نهد و زمینه برای مطالعة منابع علمی گذشته که کم و بیش فراموش شده بود مهیا گردد.

در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیائی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مکانیک ترقیات شایان نمودند. تارتاگلیا و کاردان در ایتالیا سنن ریاضی‌دانان عهد عتیق را از سر گرفتند.

رژیمن تانسوس آلمانی که از جمله بزرگترین منجمان این دوره است کتاب قدیمی‌ترین کتاب جالبی دربارة مثلثات نگاشت. این کتاب قدیمی‌ترین کتاب کامل مثلثات است که در مغرب‌زمین انتشار یافت. همچنین ژان‌ورتر از اهالی نورنبرگ آلمان که به هندسه قدما به خوبی مسلط بود راه‌حل عالمانه و بدیعی از یکی از مسائل ارشمیدس که موضوع آن تقسیم کره به کمک صفحه به نسبت معلومی بود بدست داد. وی در تمام قسمتهای ریاضی بخصوص مثلثات تألیفات بسیار دارد.

ریاضی‌دانان فرانسوی در اوایل قرن شانزدهم عموماً مادون ایتالیائی‌ها بودند. مشهورترین آنها یکی اورنس فین است که در هندسه بویژه در موردتربیع دایره اکتشافات تازه‌ای کرد. دیگر پی‌یرلارامه موسوم به راموس است که بیشتر از لحاظ آثار فلسفی خود شهرت یافت. با وجود این به ریاضیات نیز علاقه فراوان نشان داد تا جائی که کتابی در ستایش ریاضیات و کتاب دیگری در مقدمات حسابو هندسهتألیف کرد. بالاخره کاندال را باید نام ببریم که در مطالعات مخصوص به چند وجهی‌ها تخصص یافت.

در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی بنام فرانسواویت (۱۶۰۳_۱۵۴۰م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یکی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابلة جدید و در عین حال هندسه ‌دان قابلی بود. مثلثات جدید فقط متکی‌بر زحمات اوست. هر چند بسیاری از قدما و دانشمندان جدید باری پایه‌گذاری اساس آن زحماتی کشیده‌اند، اما ترقی آن کاملاً مرهون وی است. او اولین کسی است که مثلث کروی را با معلوم بودن سه ضلع آن حل کرد و در عین حال نخستین ریاضی‌دانی است که برای حل مسأله ترسیم دایره مماس بر سه دایرة دیگر راه‌حل هندسی بدست داد و ریشه‌های معادلة درجه چهارم را ساخت.

کشور دانش خیز هلند نیز در اواخر این قرن مهد آزادی و یکی از مراکز مهم علمی جهان شده بود. آدرین‌رومن و سپس آدرین متیوس مقدار تقریبی عدد پی را محاسبه کردند و یکی دیگر از هموطنان آنان بنام وان سولن تا ۳۰ رقم اعشار آن را بدست آورد.

همچنین انگلستان که در آغاز قرن شانزدهم برای پیشرفت علم جبرکوشیده بود اینک با کشف لگاریتم بوسیله جان نپر تئوری فن محاسبة عددی را یک قدم قطعی بجلو برد.

کوپرنیک(۱۵۴۳_۱۴۷۳) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم در کتاب مشهور خود بنام «دربارة دوران اجسام آسمانی» که همزمان با مرگش انتشار یافت تصویری از منظومة شمسی بدست داد که امروز هر دانش آموزی با آن آشناست:

  1. مرکز منظومة شمسی، خورشید است نه زمین.
  2. در حالی که ماه بگرد زمین می‌چرخد، سیارات دیگر، همراه با خود زمین بگرد خورشید می‌چرخند.
  3. زمین در هر ۲۴ ساعت یکبار حول محور خود می‌چرخد نه کرة ستاره‌های ثابت.

پس از مرگ کوپرنیک در قلب اروپا، در کشور دانمارک مردی بنام تیکو براهه متولد شد که کارهای او پایه و اساس انقلاب قریب الوقوع نجوم گردید. وی نشان داد که حرکت سیارات کاملاً با نمایش و تصویر دایره‌های هم‌مرکز وفق نمی‌دهد. از آنجا که تیکو براهه بیشتر به رصدهای مستقیم و اندازه‌گیری سرگرم بود، هیچ کوشش برای تجزیه و تحلیل نتایج خود انجام نداد و این کار به یوهان کپلر که در سال آخر زندگی تیکو براهه دستیار وی بود محول گشت.

پس از سال‌ها کار، وی به نخستین کشف مهم خود رسید و چنین یافت که سیارات در حرکت خود به گرد خورشید یک مدار کاملاً دایره شکل نمی‌پیمایند بلکه همة آنها بر روی بیضی‌هایی حرکت می‌کنند که خورشید در یکی از دو کانون آنها قرار دارد.
همچنین وی در نخستین‌بار اصل ماند (اصل جبر) را در مکانیک حدس زد که بعدها بوسیلة گالیله صورت تحقیق یافت.

قرن هفدهم در تاریخ ریاضیات قرنی عجیب و معجزه‌آسا است. از فعالترین دانشمندان این قرن کشیشی پاریسی بود بنام مارن مرسن که می‌توان وی را گرانبهاترین قاصد علمی جهان دانست. این شخص اطلاعات لازم را به دانشمندان می‌داد و به ملاقات ایشان می‌رفت و هر هفته آنان را در کلبه خود جمع می‌کرد و وسیله تبادل افکارشان را فراهم می‌ساخت. و حتی برای اینکه بتواند آثار علمای مزبور را منتشر کند، شخصاً چاپخانه‌ای تهیه کرد و رابط مابین گالیله،دکارت،فرما و دیگران شد. به مدد همین اجتماعات بود که کولیر توانست آکادمی علوم پاریس را در سال ۱۶۶۶ تأسیس کند.

در سال ۱۶۰۹گالیله ریاضیات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ایتالیا تدریس می‌کرد. وی یکی از واضعین مکتب تجربی است.

مخالفت او با اصول ارسطو اشکالات بزرگی برای وی تولید کرد و می‌دانیم که در سال ۱۶۶۳ وی در سن هفتاد سالگی در برابر دادگاه تفتیش عقاید حاضر شد و چون بعد از کوپرینک اول کسی بود که حرکت زمین را به دور خورشید تأیید کرد محکوم گردید. وی قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعریف کرد و آن عبارت است از ازدیاد سرعت در هر ثانیه و همچنین قوانین حرکت گلوله روی سطح افقی و سطح شیبدار نیز مطالعه نمود. گالیله موفق به اختراع دوربینی گردید که هنوز هم نام او را همراه دارد.

در همان اوقات که گالیله نخستین دوربین خود را به سوی آسمان متوجه نمود در ۳۱ مارس ۱۵۹۶در تورن فرانسه رنه‌ دکارت بدنیا آمد.

وی به زودی با مارن مرسسن که یکی از همکلاساش بود دوست شد و پس از یکدوره فعالیتهای نظامی و مسافرتهای متعدد به پاریس و هلنددر سال ۱۶۵۰ درسوئد زندگی را بدرود گفت. دکارت در میان همه کارهایش از عرضه نمودن افکار فلسفی خود در روابط بین انسان و طبیعت غفلت ننمود. کتاب وی به نام دیوپتریک که موضوع آن مسائل مربوط به مبحث نور بویژه انکسار می‌باشد جزو برجسته‌ترین آثار اوست.

نام ریاضی‌دان بزرگ سوئیسی «پول گولدن» را نیز باید با نهایت افتخار ذکر کرد. شهرت وی بخصوص بواسطه قضایای مربوط به اجسام دوار است که نام او را دارا می‌باشد و در کتابی به نام «مرکز ثقل» ذکر شده است.

دیگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پی‌یردوفرما ریاضی‌دان بزرگ فرانسوی است که در سال ۱۶۰۱ در بومون دوکانی متولد شد و در ۱۶۶۵ در کاستر درگذشت.

وی مطالعات عمیق و جالبی درباره ریاضیات مطلق و نور کرد. یکی از برجسته‌ترین آثار او «تئوری اعداد» است که وی کاملاً بوجود آورنده آن می‌باشد. در هندسه، فرما در همان زمان دکارت و مستقل از او مبانی هندسه تحلیلی را کشف کرد، گذشته از آن وی از دکارت نیز تجاوز نمود و اولین کسی است که این علم را در مورد فضای سه بعدی بکار برد.

تجسمات رفیع و استادانه او در حساب عالی است تا جائی که استدلال بعضی از قضایای او فقط یک قرن بعد بوسیله کسانی از قبیل اولرولاگرانژ باز یافته شد و یکی از قضایای او را حتی امروز نیز نتوانسته‌اند ثابت کنند.

ریاضی‌دان بزرگ دیگری که در این قرن به خوبی درخشید ژیرار دزارک فرانسوی می‌باشد که بیشتر به واسطه کارهای درخشانش در هنر معماری شهرت یافته بود. دزارک در هندسه آثاری ارزشمند دارد ومی‌توان گفت که وی راه به سوی آنچه که «هندسه جدید» نامیده می‌شود بازکرد. او نخستین کسی است که درباره اشکال هندسی تنها به روابط متری مابین کمیات اکتفا نکرد و خواص تصویری را نیز در نظر گرفت و هندسه وضعی را پدید آورد.

و بالاخره ریاضی‌دان دیگر فرانسوی یعنی روبروال را باید نام ببریم که بواسطه ترازوی مشهوری که نام او را همراه دارد همه جا معروف است.

در اواسط قرن هفدهم کم‌کم مقدمات اولیه آنالیز عناصر بینهایت کوچک در تاریکی و ابهام بوجود آمد و رفته‌رفته سر و صدای آن به گوش مردم رسید و فکرها را بدان‌ سوی متوجه ساخت. این نکته را نیز بایستی متذکر شد که مرکز ثقل علمی اروپا تغییر کرده بود:ایتالیا که مدتهای مدید درخشیده بود کم‌کم به خاموشی می‌گرائید. آلمان بلافاصله بعد از کپلر دچار جنگهای سی ساله شد و دیگر تا هنگام درخشیدن لایب نیتس گفتگوئی از آن در میان نبود.انگلستاندر انتظار پیدایش موجود مافوق بشری همچون نیوتن بود و کشور هلند به انتظار هویگنس تنها به تربیت مردان علاقمند و متبحر اکتفا می‌کرد. در این احوال کشور فرانسه اولین مقام علمی را اشغال کرده بود. کدام کشور می‌توانست مدعی وجود کسانی همچون دکارت،فرما، دزارک ، روبروال و پاسکال باشد.

بدون شک پاسکال همراه با دکارت و فرما یکی از سه ریاضی‌دان بزرگ نیمه اول قرن هفدهم بود و نیز می‌توان ارزش او را در علم فیزیک برابر گالیله دانست. او هنگامی که هنوز آنقدر کم سن بود که خط راست را میله و دایره را گردی می‌نامید بدون آنکه هرگز کتاب هندسه‌‌ای دیده باشد بسیاری از احکام سی‌ و دو قضیه اولیه اقلیدس را خود به خود کشف کرده بود. درسن شانزده سالگی کتابی درباره مقاطع مخروطی نوشت و هنوز یکی از قضایای آن به نام او مشهور است، همچنین در هیجده سالگی یعنی در سال ۱۶۴۱ نخستین ماشینحسابرا اختراع کرد که هنوز در کنسرواتوار صنایع و مشاغل محفوظ است.

درایتالیا آثار کاوالیری فصل جدیدی در هندسه بوجود آورد. وی در سال ۱۶۲۹ ایده‌آلهای ارشمیدس را تحت عنوان «هندسه غیر قابل تقسیمها» دنبال نمود و در ۱۶۳۵ نیز کتابی به همین نام انتشار داد. طبق نظر او هریک از اجزاء مرتباً تقسیم بدو می‌شدند و بی‌نهایت کوچک می‌گردیدند. همچنین اولین جستجوهای مربوط بهحساب بی‌نهایت کوچکها از اوست.

در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق و کنجکاوانه‌ای دنبال شد. سه نابغه فناناپذیر این دوره یعنیاسحاق نیوتنانگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنس هلندی جهان علم را روشن کرده بودند.

اسحاقاسحاق نیوتن روز چهارم ژانویه سال ۱۶۴۳ در وولسی تورپ واقع در ناحیه لینکولشایر متولد شد و در بیستم مارس ۱۸۲۷ در گذشت. وی در هیجده سالگی جزو شاگردان مجانی وارد دانشگاه کمبریج شد و در آنجا ابتدا آثار اقلیدس و سپس هندسه دکارت را مطالعه کرد. در سال ۱۶۷۳ با کتاب هویگنس بنام «درباره نوسان ساعتها» که برای اولین‌بار اصول مکانیک آسمانی را شامل بود آشنائی یافت. مسلماً این کتاب موجب تقویت افکار او درباره قانون جاذبه گردید و کم‌کم می‌خواست او را بستوه آورد. در این هنگام وی تصمیم گرفت افکاری را که تا آنروز در مغز خود محفوظ داشته بود روی کاغذ آورد و بنا بر این از سال ۱۶۸۴ به نوشتن کتاب «اصول» مشغول شد. وی تحت عنوان «حسابفلوکسیونها» روش نوینی برای پیشرفت حساب بی‌نهایتکوچکها ایجاد نمود که باعث ترقی و توسعه علم‌القوا یا دینامیک گردید.
لایپ نیتس در سوم ژوئیه سال ۱۶۴۶ یعنی سه سال بعد از تولد اسحاق نیوتن در شهر لایپزیک آلمان چشم به دنیا گشود. وی درهمه بخشهای معارف بشری مطالعات عمیق کرد، و در همه آنها مطالب درجه اولی کشف نمود. ریاضیات، حقوق، مذهب، سیاست، تاریخ، ادبیات، منطق، مابعدالطبیعه و فلسفه هریک پس از دیگری توجه او را جلب کرد. در سال ۱۶۸۴ با انتشار مقاله‌ای درباره حساب عناصر بی‌نهایت کوچک انقلابی برپا کرد. وی در این مقاله یک منحنی را مرکب ازبی‌نهایت پاره‌خط راست که هریک بی‌نهایت کوچک بودند فرض کرده بود و اگر می‌خواست کمیتی مثل حرارت را مورد مطالعه قرار دهد که از مقداری معین تا مقداری دیگر تغییر می‌کرد چنین تصور می‌کرد که این تغییرات تشکیل یافته است از مجموع بی‌نهایت تغییرات کوچک، و این تغییرات جزئی را دیفرانسیل و مجموع آنها را انتگرال نامید. با کشف دیفرانسیل وسیله جدیدی برای تحقیق آنالیز بوجود آمد. ورود آنالیز عناصر بی‌نهایت کوچک در قلمرو علم همچون هجوم طوفان و یا موج مقاومت ناپذیری بود که به کلی دانش ریاضی را زیر و رو کرد و به آن صورت جدیدی بخشید.

هویگنس در ۱۴ ماه آوریل ۱۶۲۹در شهر لاهه متولد شد. وی در تکمیل دینامیک و مکانیک استدلالی با اسحاق نیوتن همکاری کرد و عملیات مختلف آنها باعث شد که ارزش واقعی حساب انتگرال در بسط و توسعه علوم دقیقه روشن گردد. همچنین هویگنس دست به اصلاح ساعت زد و به این منظور دنباله تجسسات گالیله را گرفت.
در قرن هیجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یک دوره آرامش مبدل گردید. تمام جهد و کوشش دانشمندان مصروف این می‌شد تا با وسایل جدید نتایج کشفیات اساسی متقدمین را توسعه دهند.

در اوایل این قرن موارد استعمال حساب بی‌نهایت کوچک‌ها در منحنی ‌ها و رویه ها کشف گردید و همچنین حساب احتمالات تکمیل شد، باضافه کشفیات سرشار اسحاق نیوتن درباره مکانیک آسمانی که مدتی بدون انعکاس ماند مخصوصاً به کمک دانشمندان فرانسوی بسط داده شد.

دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مکانیک بکار برد و از روشهای آن استفاده کرد و احکامی را که تا آنزمان فقط جنبه استنتاجات هندسی داشت به معادله گذارد ومبنای تمام این بنای عظیم فقط اصل ساده‌ای بود، دالامبر با خود گفته بود: وقتی که جسمی حرکت می‌کند دلیل برآنست که نیروئی بر آن وارد می‌شود، بنابراین حتماً مابین این نیروها و تغییراتی که در حرکت ایجاد می‌شود تساوی یا تعادل وجود دارد، به عبارت دیگر گوئی که جسم با وجود حرکت در حال تعادل است.

کلرو رقیب او در ۱۸ سالگی کتابی بنام «تفحصات درباره منحنی‌های دوانحنائی» انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله‌ای تهیه و به آکادمی علوم تقدیم نمود که شامل مطالب جالب توجهی مخصوصاً در اطراف مکانیک آسمانی و هندسهبی‌نهایتکوچکها بود.
در اواسط این قرن هویگنس و نیوتون درباره معماری نور به موشکافی پرداختند.

اسحاق نیوتن در ضمن آزمایشهای خود به این نتیجه رسید که نور سفید تمام انوار مختلف را شامل است وبرای امتحان صحت این موضوع اشعات رنگین مختلف را با هم مخلوط کرد و از مجموعه آنها نور سفید بدست آورد و برای اینکه استدلال خود را قوی سازد دسته‌ای از نور سفید حاصل را روی تیغه باریکی انداخت و یک سلسله حلقه‌های رنگین بدست آورد که نام حلقه‌های اسحاق نیوتن روی آنها مانده است.

ریاضی‌دانان انگلیسی سنسن و استوارت ضمن اکتشافات خود مسائل مختلفی از هندسه را استادانه مورد مطالعه قرار دادند. همچنین بروک تایلور و کولین ماکلرین کوششهای رها شدة اسحاق نیوتن را ادامه دادند. تایلور باعث توسعة فوق‌العادة آنالیز ریاضی عناصر بی‌نهایت کوچک که توسط لایب نیتس عرضه شده بود گردید و ماکلرین روش او را اصلاح کرد.

منجم انگلیسی هالی که در هندسه قدما نیز مطالعة بسیار می‌کرد آثار منلائوس و آپولونیوس را به چاپ رسانید و اولین راه حل مسألة یک مقطع مخروطی را با معلوم بودن سه نقطه ویک کانون آن به دست داد.

آبراهام مواور پروتستان فرانسوی که به انگلستان تبعید شده بود یک قضیة اصلی و اساسی دربارة اعداد موهومی ابداع کرد.

همچنین میش رول فرانسوی قضیه مهمی در جبر ابداع کرد و هموطن دیگر او آنتوان پاران هندسه تحلیلی دکارت را به فضای سه بعدی تعمیم داد. از جمله دانشمندانی که برای بسط کارهای لایب نیتس می‌کوشیدند می‌توان خانوادة برتونی را نام برد. این خانواده از اهالی آنورس بلژیک بودند که به یال از شهرهای آلمان فرار کرده بودند.

ارشد ایشان ژاک اول حساب دیفرانسیل لایب نیتس را در دانشگاه بال تدریس می‌کرد. وی از جملة کسانی است که چگونگی محاسبة انتگرالها را تعلیم می‌داد. بعد از مرگ او برادرش ژان اول جانشین وی شد.

دیگر لئونارداولر ریاضی‌دان بزرگ سوئیسی است که در ۱۵ آوریل ۱۷۰۷م در شهر بال متولد شد و در ۱۷ سپتامبر ۱۷۸۳م در روسیه درگذشت.

در اواخر قرن هیجدهم و اوایل قرن نوزدهم کشور فرانسه پیشرو نهضت علمی اروپا بود و این پیشرفت را باید نتیجه انقلاب کبیر سال ۱۷۸۹م دانست که باعث تهییج حس ملی مردم شد و علم را لازمة زندگی قرارداد و به این ترتیب جنبش جدیدی در جستجوها و کشفیات علمی بوجود آورد. نفوذ آزادی خواهانة انقلاب در عین حال که زوائد خفه کننده علم را از آن دور کرد کشور فرانسه را نیز به مقام راهنمای علمی اروپا ارتقاء داد.
ارتقاء به این مقام بواسطة وجود مردانی نظیر لاگرانژ، لاپلاس، لژاندر، مونژ، فوریه و غیره بود. عمومی شدن تحصیلات علمی و ترویج کامل آن بطور محسوسی جستجوها و کشفیات علمی را افزایش داد. به این ترتیب بهترین و مشهورترین دانشمندان فرانسه نخستین میوه‌های شیرین دوران انقلاب را می‌چیدند.

لاگرانژ از جملة بزرگترین ریاضی‌دانان تمام ادوار تاریخ بشر است. وی در ۱۹ سالگی حساب تغییرات را اختراع کرد که روش جدیدی در آنالیز است و به کمک آن خیلی سهلتر از حساب دیفرانسیل بعضی از مسائل مربوط به ماکزیمم و مینیمم را حل کرد. وی براساس کارهای دالامبر تمام متدهای مختلفی را که تا آنروز برای حل مسائل مکانیک مورد استفاده قرار می‌گرفت جمع نمود. «مکانیک تحلیلی» او که در سال ۱۷۸۸م عمومیت پیدا نمود بزرگترین شاهکار وی بشمار می‌آید. همچنین در سال ۱۷۹۷م تئوری توابع تحلیلی خود را نوشت که فجر دوران جدید را اعلام می‌کرد. دو سال بعد «حل معادلات عددی» را انتشار داد و قدرت خویش را در سیاحت راههای جدیدی که خود برای آنالیز باز کرده بود مضاعف ساخت. این دانشمند گرانقدر که ))ناپلئون او را «هرم مرتفع علوم ریاضی» می‌نامید در دهم آوریل ۱۸۱۳ در ««پاریس، شهری که انقلاب زمینه افتخار را برایش تدارک دیده بود زندگی را بدرود گفت.

لاپلاس که در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود علاقه زیاد به علوم دقیقه داشت. وی با انتشار کتبی از قبیل «تئوری تحلیلی احتمالات» (۱۸۱۲) و «مطالعات فلسفی دربارة احتمالات» (۱۸۱۴) حساب احتمالات را تکمیل نمود و از سال ۱۷۹۹تا سال ۱۸۲۵ کتابی تحت عنوان «مکانیکآسمانی» در پنج جلد انتشار داد.
گاسپارمونژ، این ریاضی‌دان انقلابی و نابغة دانشمند هنگامی که هنوز بیست سال نداشت شاخة جدید علم هندسه بنام «هندسه ترسیمی» را بوجود آورد. در این هندسه اشکال مجسم را به وسیلة دو تصویر آنها روی صفحات قائم و افقی نمایش می‌دهند و برای اینکار دو صفحة مزبور را همچون کتابی که روی میز بازمانده، باشد، بر روی یک صفحه تسطیح می‌‌نمایند. این طریقه که امروز مبنای همة ترسیمات ماشینها و معماری است نسبت به روشهای تجربی و مبهم قدیم آنقدر بزرگ و مهم بود که مونژ را وادار کردند قسم بخورد که این اکتشاف رافاش نخواهد کرد و مدت ۱۵ سال آن را جزو اسرار نظامی مخفی کرده بودند. همچنین مونژ هندسه بی‌نهایت کوچکها را در فضای سه‌بعدی معمول کرد و پیشرفتهای زیادی به نظریة معادلات با مشتقات جزئی داد. این ریاضی‌دان بزرگ دربارة انحناء سطوح نیز کارهای مهمی دارد.

ژان بابتیست فوریه که در زمان انقلاب معلم ریاضیات بود در مسأله انتشار حرارت روش بسیار بدیع و جالبی اختراع کرد. این روش که بعدها تمام مباحث فیزیک را تحت تأثیر خود قرار داد و یکی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید عبارت بود از گسترش توابع به سری‌های مثلثاتی که آنها را سریهای فوریه نامیدند و مطالعة عمیق دربارة آنها هنوز ادامه دارد.

یکی دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنی‌پوآسون (۱۸۴۰_ ۱۷۸۱) فرانسوی و شاگرد لاپلاس می‌باشد که اکتشافات مهمی در ریاضیات کرد. وی تئوریهای مهم اولر، لاگرانژ و لاپلاس را در مورد جاذبة اسحاق نیوتنی که به تئوری پتانسیل مشهور است در مورد الکتریسیته بکار برد و از ۱۸۲۴ آنها را در مورد مغناطیس نیز تعمیم داد. در سال ۱۸۲۸ این تئوریها به وسیلة ریاضی‌دان انگلیسی جورج گرین اصلاح شد و این شخص واضع دستور مهمی بنام فرمول گرین است که تمام ریاضی‌دانان آنرا به خوبی می‌شناسند.
گاوس ریاضی‌دان شهیر آلمانی که عنوان «پرنس ریاضی‌دان» بحق شایستة اوست، این تئوریها را مورد مطالعه قرار داد و تئوری کامل مغناطیس را بوجود آورد. مقام گاوس از لحاظ علمی همتای اسحاق نیوتن و ارشمیدس است. از اکتشافات درخشان او اولین دورة هندسه دیفرانسیل می‌باشد که منظور از آن مطالعة منحنیات و سطوح در نقاط بسیار نزدیک با یک نقطة بخصوص می‌باشد. مطالعات او دربارة انحناء و ترسیم نقشه‌ها و نمایش سطوح بر صفحات، اصلی و اساسی می‌باشد.

کوشی فرانسوی، این ریاضی‌دان پرشور که در سراسر نیمة اول قرن نوزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوریهای زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد و آنالیز را واجد دقتی کرد که هندسه از زمان اقلیدس به بعد افتخار آنرا داشت. وی از سال ۱۸۲۰ تا سال ۱۸۳۰ تئوری توابعی را که دارای یک متغیر موهومی هستند بنا نهاد. این تئوری که امروزه بزرگترین عنوان افتخار او محسوب می‌شود‌، دانشمندان بزرگی نظیر ریمان، وشتراس، هرمیت و پوانکاره را بخود مشغول داشت.

علاوه بر مکتب ریاضیات فرانسوی و آلمانی مکتب ریاضیات دیگری وجود داشت و آن مکتب ریاضیات انگلیسی بود که کم‌کم از تاریکی خارج می‌شد. از نوابغ بزرگ این کشور ویلیام روون هامیلتون ایرلندی را بایستی نام برد که از لحاظ پیش‌رسی عجیب بود. در ۵ سالگی متون لاتینی و یونانی و عبری را می‌خواند و ایتالیائی و فرانسوی را در ۸ سالگی و عربی و سانسکریت را در ۱۰ سالگی آموخت و در ۱۴سالگی برای سفیر ایران خطابة خوشامدی به زبان فارسی تهیه کرد. این استعداد بی‌مانند بزودی متوجه علوم گردید بطوری که در ۱۷ سالگی هامیلتون تمام حساب انتگرال را بخوبی می‌دانست و خسوف و کسوف را بخوبی پیش‌بینی می‌کرد و در ۲۲سالگی استاد نجوم گردید. کارهای او بخصوص مربوط به مبحث نور، دستگاههای اشعه و مبحث دینامیک است. وی ملاحظات گاوس را درفضای سه بعدی تعمیم داد و در سال ۱۸۴۳ اولین اکتشاف خود را درباره کوآترنیون‌ها یعنی جبر فضائی که تعمیم جبر گاوس و کوشی می‌باشد به آکادمی سلطنتی ایرلند تقدیم کرد. تقریباً در همین فکر را نه تنها در مورد فضای سه بعدی بلکه به فضای n بعدی تعمیم داد.

دوپیش درآمد ناگوار در حدود سال ۱۸۳۰ تاریخ علم را تاریک ساخته است. آبل نروژی و گالوای فرانسوی‌، پس از یک زندگانی بسیار کوتاه و پرهیجان در حالی که نتیجه با ارزش کشفیات اساسیشان شناخته نشده بود با رنج و مرارت درگذشتند.

نیل هنریک آبل متولد اوت ۱۸۰۲ در سال ۱۸۲۴ ثابت نمود که صرفنظر از معادلات درجة اول تا درجة چهارم، هیچ دستور جبری که بتواند معادلة درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد و برای اینکه کارهای خود را به دیگران بشناساند در سال ۱۸۲۵ به آلمان سفر کرد و چون در آنجا نشانی از زندگی بدست نیاورد به پاریس روی نهاد. آبل در این شهر در شاهکار بزرگ خود دست دیگری برد و مقاله‌ای «دربارة خاصیت عمومی طبقة بسیار وسیعی از توابع غیر جبری» انتشار داد. وی در نتیجة مکاشفه‌ای که تنها حاصل نبوغش بود توانست راه خود را کج کند و انتگرالهای بیضوی لژاندر را مورد مطالعه قرار دهد و کشف او آنقدر استادانه بود که با نهایت سادگی کاری را که استاد بزرگ مزبور در مدت چهار سال انجام داد تبدیل به هیچ کرد.

آبل این کشف ذیقیمت خود را به کوشی سپرد. اما افسوس! کوشی آنرا گم کرد و نروژی بیچاره در حالی که آخرین شاهی خود را مصرف کرده بود و آخرین امید خود را از دست داده بود ناچار شد به وطنش مراجعت کند، و هم در آنجا بود که آبل در نتیجه محرومیتها و گرفتاریهای فراوان به مرض سل مبتلا گشت و در ششم آوریل ۱۸۲۹م جان سپرد. دو روز پس از آن تاریخ کوشی نسخة خطی او را پیدا کرد و آکادمی علوم از ارزش آن آگاه شد و جایزة بزرگ خود را به آپل و ژاکوپی آلمانی تخصیص داد. ولی آبل آنچنان فراموش شده بود که نامی از او در میان نبود و کسی نمی‌دانست که دو سال پیش مرده است.

گالوا که زندگیش در تاریخ علم صفحه‌ای اندوهبار گشوده است در ۲۶ اکتبر ۱۸۱۱م در پاریس متولد شد. در ۱۴ یا ۱۵ سالگی بجای انجام تکالیف عادی دبیرستان اوقات خود را صرف مطالعه در هندسه لژاندر و آثار بزرگ لاگرانژ و اکتشافات آبل می‌نمود. وی پس از عدم موفقیت در امتحان ورودی مدرسة پلی تکتنیک و نیز رانده شدن از دانشسرای عالی و مخصوصاً به سبب آشنا نبودن با دانشمندان مشهور وارد مبارزات سیاسی شد،‌ او عقیده داشت:
«من برای دانشمند شدن چیزی کم دارم و بنابراین قلب من آرزوئی دارد که مغز من قادر به انجام آن نیست.»
گالوا پس از چند ماه زندانی شدن آزاد شد. ولی درحالی که فقط چند روز بیش از بیست سال و هفت ماه داشت در یک دوئل بخاطر زنی هرجائی مجروح گردید. شاید در تمام تاریخ علم فصلی حزن انگیز‌تر از شب ۲۹ماه مه ۱۸۳۲وجود نداشته باشد.
گالوا «تئوری گروهها» را که قبلاً بوسیله کوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به کار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص کرد. این تئوری که امروزه تعمیم یافته و در عین حال ساده‌تر شده است برای حل مسائل گوناگون بکار می‌رود و وسیلة جستجوی بدست فیزیکدانان زمان ما داده است.

دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی می‌باشد که دارای آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و«خواص تصویری اشکال» می‌باشد. اکتشافات پونسله باعث ترقی عظیمی در هندسه جدید گردید. وی برای اولین بار عوامل موهومی را در هندسه دخالت داد و تعبیر کرد و گذشته از آن پونسله «اصل ثنویت» و طریقة تعاکس را فراهم آورد و طریقة اخیر خود به خود هرگونه اکتشاف جدید را مضاعف می‌نماید: در حیقیقت به موجب این اصل تمام احکام هندسه تصویری دو بدو وابسته به یکدیگرند و برای رجوع از یکی به دیگری کافیست که در احکام قضایا عمل نقطه و خط را با یکدیگر عوض نمائیم. همچنین لازارکانو فرانسوی را باید نام ببریم که اکتشافات هندسی او دارای اهمیت اساسی می‌باشد.

لازار که تمام کوشش خود را برای آزاد کردن هندسه از قید آنالیز بکار می‌برد دارای آثاری نظیر «هندسه وضعی» و «مطالعات دربارة نظریة موربات» می‌باشد که در پیشرفت هندسه ترکیبی که همان باقیماندة هندسه قدما می‌باشد مؤثر واقع شد. این هندسه که از زمان دکارت به بعد مورد توجه واقع نشده بود در نتیجة اکتشافات او و نیز کشفیات پونسله و شال فرانسوی آبروی جدیدی یافت و ترقیات شگرفی نمود.

میشل شال هندسه مطلق را با اعلی‌ترین درجة هنر و استادی و با منتهای ظرافت و زیبائی به بالاترین حد ممکن ترقی داد. هدف اصلی او این بود که مسائل هندسه را بدون کمک محاسبه مطالعه نماید.

شال در سال ۱۸۳۴ افکار خود را در کتابی به نام «چشم انداز تاریخی» منتشر کرد که به دریافت جایزه‌ای از آکادمی بلژیک موفق شد و شهرتی فراوان کسب کرد و در اواخر عمر تئوری «مشخصات» را اختراع کرد که از طرف جامعة سلطنتی انگلستان به اخذ جایز نایل گردید.

در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان نابغة روس نیکلای ایوانویچ لوباچوسکی استاد دانشگاه قازان با شجاعت تمام مطرح نمود که: اصل اقلیدس نتیجه منطقی سایر اصول هندسه نیست و بنابراین خود را درباره «هندسه غیر اقلیدسی» به جامعه ریاضیات و فیزیک قازان تقدیم کرد. در این هندسه قبول شده است که از هر نقطه واقع در خارج یک خط بی‌نهایت خط عبور می‌کند که آن را قطع نخواهد کرد. به این ترتیب لوباچوسکی این فکر را که هندسه اقلیدسی همچون آیات آسمانی حقیقت مطلق است از میان برد و این کار قدرت فکری بی‌مانند و جرأت علمی حیرت آوری لازم داشت که نتایج آن تا ایام ما نیز روز به روز ظاهر می‌شود.

بدون شک، تردید لوباچوسکی دربارة حقیقتی که بیست و یک قرن تمام مورد تصدیق همة جهانیان بود یکی از نتایج انقلابات سیاسی و اجتماعی است که در آنوقت تمام اروپا را تحت تأثیر قرار داده بود. تقریباً در همان زمان ریاضیدان بزرگی درکشور مجارستان که تا آن موقع خارج از جریان ترقیات علمی بسر می‌برد پیدا شد که همان نتایج ریاضیدان بزرگ روسی را بدست آورد. این شخص ژان بولیه بود که اثر خود را تحت عنوان «مطالعات مقدماتی در اصول ریاضیات مطلق» دربارة هندسه غیر اقلیدسی در سال ۱۸۳۲ انتشار داد.

وی نیز همچون لوباچوسکی ایمان و اعتقاد قطعی به هندسه اقلیدسی را باطل دانست و راه را برای ریمان آلمانی باز کرد که بیست و دو سال بعد از این تاریخ با قدرت بی‌مانندی فتوحات دو دانشمند متقدم خود را توسعه داد.
آن هندسه غیراقلیدسی که ریمان عرضه داشت دارای مفهومی به مراتب وسیعتر از آنچه که بولیه و لوباچوسکی در نظر داشتند می‌باشد.

بعد از او نوبت به ریاضیدان روسی پانتونی چبیچف استاد دانشگاه سن‌پطرزبورگ رسید و از آن پس کرونکر پر وسی وارد این صحنه گردید. وی با توسعة قلمرو قدیمی اعداد جبری – اعدادی که می‌توانند ریشة یک معادلة جبری با ضرایب صحیح یا کسری باشند – طرح انقلابی را ریخت که مشابه با انقلاب غیر اقلیدسی‌ها دربارة علم هندسه بود.

چندی بعد ادوارد کومر آلمانی در نتیجه اختراع نوعی از اعداد که به اعداد «ایده‌آل» موسومند جایزه ریاضیات آکادمی علوم پاریس را بدست آورد. این اکتشافات او بعدها بوسیله آلمانی دیگر به نام دده کیند که آخرین شاگرد گائوس بود اصلاح شد. دده کیند توانست مسأله‌ای را که از زمان ادوکس تا آن موقع متوقف مانده بود‌، یعنی تعریف دقیق اعداد اندازه نگرفتنی را با نهایت کفایت مورد مطالعه قرار دهد.

در اینجا ذکر نام دانشمندانی نظیر شارل وایراشتراس و شارل هرمیت که در مورد توابع بیضوی کشفیات ارزشمندی نمودند ضروری می‌باشد.

وایراشتراس آلمانی در توابع آبل که تعمیم توابع بیضوی می‌باشد مطالعات فراوان کرد و تئوری توابع نامتغیر مختلط را که به وسیلة کوشی و گائوس مطالعه شده بود به باد انتقاد گرفت و موضوع را از نظر دیگری _ به وسیلة بسط توابع تحلیلی به سری‌های کامل _ مورد مطالعه قرار داد و این تئوری را بر مبانی جدیدی متکی ساخت.

هرمیت فرانسوی نخستین کسی است که توابع بیضوی را برای حل معادلات درجة پنجم به کار برد و مطالعات بسیار مشکلی دربارة حساب عالی نمود. همچنین هرمیت اصم بودن عدد پی را که در ریاضیات اهمیت بسیار دارد ثابت کرد.

از سال ۱۸۷۰ محصول و نتیجة ریاضیات با عدة پژوهندگان و مکتشفین در هر کشور اروپائی رو به فزونی نهاد و اتازونی که در آغاز قرن نسبت به مطالعات تکنیکی گوشه‌گیر بود به نوبة خود وارد در راه جستجو‌های تئوریکی شد. دو دانشمند نابغه یکی ژرژکانتور و دیگری هانری پوانکاره تحولات این دوره را هدایت و راهنمایی می‌نمودند.

ژرژکانتور ریاضیدان آلمانی که در روسیه تولد یافته بود با نبوغ توأم با جسارت خود در ربع آخر قرن نوزدهم و در فاصلة سالهای ۱۸۸۲ تا ۱۸۹۷ با وضع «فرضیة مجموعه‌ها» اساس هندسه اقلیدسی را که اصول موضوعة آن قریب دو هزار سال علم ریاضی را مهار کرده بود و ریاضیدانان برجسته‌ای نظیر لوباچوسکی، بولیه و ریمان در آن خللهائی پدید آورده بودند چنان در هم کوفت که در حال حاضر رویش اقلیدسی جای خود را به روشی جدید بر اساس فرضیة مذکور داده است و گمان می‌رود که درک مفاهیم ریاضی با اعمال این روش سهلتر و قطعی‌تر از آن است که اقلیدس تصور می‌کرد.
کانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف کرد:

  1. مجموعه عبارت است از اجتماع اشیائی که دارای صفت ممیزة مشترک باشند. هر یک از آن اشیاء را «عنصر» مجموعه می‌گویند.
  2. مجموعه عبارت است از اجتماع اشیائی مشخص و متمایز ولی ابتکاری و تصوری.

از نقطة نظر تشکیل مجموعه‌ها تعاریف مذکور را می‌توان در یک «اصل کلی» خلاصه کرد و آن تشکیل مجموعه‌ای است که اشیاء و عناصر آن دارای خاصیت مفروضی باشند.

هنری پوانکاره یا «غول فکر ریاضی» آخرین دانشمند جهانی است که به همة علوم واقف بود و در واقع عبارت از ماحصل تمام کوششهائی بود که در قرن نوزدهم دربارة ریاضیات بعمل آمد. وی در تمام رشته‌های ریاضی نظری و عملی نبوغ خود را ظاهر ساخت و به حل بسیاری از مسائل پیچیده و مشکل موفق گردید. پوانکاره صاحب سی جلد کتاب و پانصد مقاله است که مربوط به مسائل کلاً مختلف می‌باشد. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اکتشاف خود یعنی «توابع فوشین» را به دنیای دانش تقدیم نمود و برای حل معادلات دیفرانسیل که قبلاً ریاضی‌دان آلمان لازارفوکس کشفیات زیبائی در مورد آنها کرده بود کلید جدیدی بکار برد و به کمک آن نه تنها مشکل معادلات دیفرانسیل را حل کرد بلکه معماری توابع بیضوی را نیز روشن ساخت. اکتشافات وی در مبحثی از ریاضی که سابقاً‌ آنرا «تحلیل تواضع» می‌نامیدند و امروزه موسوم به «توپولوژی جبری» و از بزرگترین و مشکلترین مباحث ریاضی جدید است ارزش قاطع دارد. همچنین پوانکاره آنالیز را در مبحث نور و الکتریسته بکار برد و راه حل بسیاری از مسائل جبری را بدست داد.

بعد از پوانکاره ریاضیدان سوئدی میتاگ لفلر کارهای او ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیکارد در این راه قدم نهاد.

پیکارد هنوز بیش از بیست و چهار سال نداشت که با انتشار اثر خود درباره «توابع درست» در بین ریاضیدانان اروپا شهرت بسیار کسب کرد. در این اثر دو قضیة جدید دربارة توابع متغیر موهومی ذکر کرده و نظر بدیعی اختیار نموده بود، که نهضت جدیدی در ریاضیات ایجاد می‌کرد. وی در آنالیز روشی ابداع کرد که بوسیلة آن ممکن است بتدریج به جواب قطعی یک مسأله نزدیکتر گردید.

در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیک ریاضی به منتها درجه تکامل خود رسید و دانش نجوم مکانیک آسمانی تکمیل گردید.

اکنون ریاضیدانان فرانسوی تنها به پرورش سنن کوشی واپرواشتراس اکتفا نمی‌کردند بلکه اکتشافات مهم گائوس دربارة مورد استعمال آنالیز در هندسه یعنی هندسه عناصر بی‌نهایت کوچک را نیز اصلاح می‌کردند. برجسته‌ترین ریاضیدانی که در این راه کوشش بسیار کرد ژوزف برتران است که دورة عظیم «حساب دیفرانسیل» را تألیف کرد و ضمن آن روش جدیدی برای مطالعة منحنیات و سطوح بدست داد.

پس از او گاستون داربو کارهای بزرگ او را ادامه داد. وی در صدد برآمد دو رشته مخالف یعنی هندسه و آنالیز ریاضی را با یکدیگر آشتی دهد. و موفق شد که نه تنها قسمت‌های مقدماتی آنالیز بلکه معادلات با مشتقات جزئی را نیز در هندسه وارد سازد. داربو نتایج حاصل را در کتاب بزرگی به نام «دروسی درباره تئوری عمومی سطوح» که کلاسیک شده است انتشار داد.

چندی بعد ریاضیدان فرانسوی کامیل ژوردان به پیروی از کارهای کروتکر دربارة تئوری گروههای گلوا کتابی در این باره انتشار داد که از لحاظ انتشار موضوع دارای اهمیت فوق‌العاده می‌باشد بطوری که تئوری گروهها همچون کلید سحرآمیزی به نظر می‌رسید که با نهایت استادی دستگاه دقیق و ظریف معادلات جبری را می‌گشود و در ساختمان آن آنقدر هنر به کار رفته بود که در عین حال در مسائل هندسی نیز مورد استفاده قرار می‌گرفت، و این کار در سال ۱۸۷۱ به کوشش ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین صورت گرفت.

پل پنلوه یکی دیگر از ریاضیدانان فرانسوی مسائل زیادی راجع به معادلات دیفرانسیل حل کرد و موارد استعمالی که بعدها در مکانیک برای آن یافت کاملاً جنبة کلاسیک پیدا کرد، و در همه جا تدریس می‌شود.

همچنین در نتیجه مساعی پنلوره و پیشقدمان او بود که مکانیک بصورت علمی کامل و جامع درآمد.

ویتوولترا ریاضیدان برجستة ایتالیائی درسال ۱۸۹۶ معادلات انتگرال را کشف کرد و وسیلة پژوهش جدیدی بدست صنعتگران فیزیک ریاضی داد و سپس درصدد برآمد موضوع را تعمیم دهد و آنالیز جدیدی اختراع کند که دیگر از مقادیر Y و X و غیره بحث ننماید، بلکه بطور کلی توابع را در روابط وارد سازد. این اختراع جدید که «حساب توابع» نام داشت تاج سر علوم ریاضی از عهد عتیق تا زمان حال بود و در حقیقت نقطة انتهائی این تکامل محسوب می‌شد.

در اوایل قرن بیستم ماکس پلانک آلمانی و نیاز بوهر دانمارکی کوانتا را در اتم بکار بردند و طولی نکشید که نخستین فتح این تئوری ظهور کرد و آن تئوری مشهور آلبرت انیشتین آلمانی بود که معمولاً تئوری نسبیت خوانده می‌شود.

داوید هیلبرت آلمانی که از بزرگترین ریاضیدانان نیمة اول قرن بیستم و در عداد بزرگترین ریاضیدانان تمام تاریخ بشر محسوب می‌شود در سال ۱۸۹۹م کتابی به نام «اصول اساسی هندسی» انتشار داد که هدف آن مربوط کردن اصول موضوعة هندسه به اصول حساب برای جلوگیری از تناقضات بود.

ابداعات این مرد بزرگ در تمام شعب ریاضی اعم از جبر و هندسه و آنالیز و توپولوژی و حساب و غیره آنقدر اساسی و مهم است که شاید تا صدها سال دیگر نیز ریاضیدانان از گنجینه‌های آن بهره‌برداری کنند.

متأسفانه این دانشمند نامی که یهودی هم نبود در ۸۱ سالگی بواسطه زجر و شکنجة عمال هیتلر در یکی از اردوگاههای اسیران جنگی درگذشت.

هنری لوبگ فرانسوی نیز یکی دیگر از ریاضیدانان بزرگ نمیه اول قرن بیستم است. وی درباره انتگرال مفهوم جدیدی بدست داد که از نظر عادی آنالیز را بکلی تغییر می‌داد. مسألة اندازه‌گیری «آنسامبل»‌ها و تئوری انتگرال لوبگ از اساسی‌ترین ترقیات دانش در نیمة اول قرن بیستم می‌باشد.

بطوری که می‌توان گفت بسیاری از ترقیات مهم آنالیز ریاضی و تئوری توابع و حساب احتمالات و آمار ریاضی و حتی دانش فیزیک مرهون این ابداع مهم می‌باشد.

موریس دوکانی ریاضیدان دیگر فرانسوی شعبه جدید هندسه به نام نوموگرافی را که ابتدا بوسیلة ریاضیدان ایتالیائی لوئیجی کره‌مونا ایجاد شده بود فوق‌العاده بسط داد.

این حکمت جدید که برای دانشمندان و مهندسین فواید بی‌شمار دارد نمودارهای ساده‌ای را که برای نمایش قوانین عادی بکار می‌رود تعمیم می‌دهد و استعمال آباک‌ها را جانشین محاسبات عددی طویل و پیچیده می‌نماید و امروزه در علم مساحی و فنون مهندسی و نقشه‌برداری و هواپیمایی و توپخانه مورد استعمال یافته است.

انتشار و ترویج تحصیلات جدید در نیمة اول قرن بیستم سبب آن شد که اتازونی از لحاظ پیشرفتهای علمی در رأس همة کشورها قرار گیرد و ترقیات شگرفی در زمینة علوم تجربی نصیب کشورهائی نظیر هند و ژاپن گردد.

با وجود این تمام تئوریهای بزرگ از قبیل کوانتا، نسبیت و مکانیکموجی از اروپای کهن یعنی کشورهای ایتالیا، انگلستان، فرانسه و آلمان سرچشمه می‌گیرد و در نتیجة رهبری ایشان بود که تجسسات علمی از حدود این کشورها تجاوز کرد و بین‌المللی گردید. لیکن بعد از جنگ جهانی دوم نهضت بزرگ برای پیشرفت مسائل نظری در ممالک متحدة آمریکای شمالی بوجود آمد و بخصوص در دانش ریاضی که مبنا و اساس تمام علوم نظری و عملی است فعالیت خارق‌العاده‌ای می‌شود، بطوری که این فعالیت در هیچیک از ممالک دیگر وجود ندارد و تنها کشوری که از این لحاظ با ممالک آمریکای شمالی رقابت فشرده‌ای داشت اتحاد جماهیر شوروی (سابق) بود که آن نیز کشوری جدید و غیر از اروپای کهن بود.

امروزه ریاضیات بیش از پیش و به نحو شگرفی در حریم سایر علوم نفوذ کرده است و نه فقط علوم نجوم و فیزیک و شیمی تحت انضباط آن درآمده‌اند بلکه اصولاً ریاضیات دانش مطلق و روح علم شده است.

|+| نوشته شده توسط مهدی تقیان در شنبه چهاردهم آبان 1390  |
 

ریاضیات یونان باستان

 

با شروع هزاره اول میلادی و با افول تمدن بزرگ مصر و بابل، کم کم تمدنهای جدیدی مانند تمدن
یونانی، فنیقی و آسوری پا به عرصه وجود گذاشتند. با تکامل ذهنی بشر، انسان با کلمه «چرا»
مانوس تر شد.
- چرا زوایای متقابل به راس با هم برابرند؟
- چرا در مثلث متساوی الساقین دو زاویه روبه رو به دو ساق برابرند؟
- ...؟
به این ترتیب، ریاضیات برهانی متولد شد و یونانیان در این امر پیشتاز بوده اند. در این قسمت به طور بسیار خلاصه، به نام و کارهای ریاضیدانان یونانی به ترتیب زمانی خواهیم پرداخت.

    1. تالس یکی از ریاضیدانانی است که برای اولین بار به وسیله استدلال منطقی و بدون  استفاده
      از شهود، چند قضیه مهم هندسه را ثابت کرد. (مراجعه کنید به صفحه 60 جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد و. ایوز ترجمه ی دکتر محمد قاسم وحیدی اصل - فصل ریاضیات فیثاغورسی)

    2. فیثاغورث (یا به عبارت درست تر فیثاغورسیان که پیروان و شاگردان او بودند) نیز سهم
      بسزایی در تکامل ریاضیات برهانی داشت. خلاصه ای از کارهای فیثاغورسیان را مرور
      می کنیم:

      (الف) این گروه اولین قدمها را در رشد نظریه اعداد برداشتند، مانند معرفی اعداد متحابه، تام، ناقص و زاید (مراجعه کنید به صفحه ۷۰ و ۷۱  جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز ) و نیز معرفی اعداد مصور مثلثی، مربعی، مخمسی (مراجعه کنید به صفحه ۷۲ تا ۷۴ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).

      (ب) اولین برهان منطقی و درست از قضیه فیثاغورس که بابلیان قدیم بدون برهان از آن استفاده می کردند.

      (ج) کشف عدد گنگ که یکی از حوادث مهم تاریخ ریاضیات است.

      (د) ابداع جبر هندسی برای بیان اتحادهای جبری در قالب اصطلاحات هندسی. برای توضیح بیشتر، اتحاد  را به این وسیله با شکل زیر «ثابت» می کنیم:



      (ه) حل هندسی معادلات درجه دوم. برای مثال با فرض اینکه a و b دو عدد مثبت باشند،
      طول x را چنان به دست می آوریم که x جواب معادله ی   باشد. این کار را در
      شکل زیر انجام داده ایم. (با این کار می توان برای هر عدد طبیعی n، را رسم کرد.
      کافی است دایره ای به قطر n+1 رسم کنیم.)

       

      (و) معرفی بعضی از اجسام پنجگانه افلاطونی یا اجسام منتظم پنجگانه (یک چند وجهی
      را منتظم گوییم اگر وجوه آن چند ضلعی های منتظم مساوی باشند و کنجهای آن نیز همگی
      برابر.)

      (ز) بسط روش اصل موضوعی که اثبات یک ادعاست به وسیله سلسله استنتاجهای دقیق از
      چند فرض آغازین که کاملاْ مشخص هستند.

    3. افلاطون و شاگردان او: تقریباْ تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم قبل از میلاد به وسیله شاگردان افلاطون انجام شده است و آنها حلقه ارتباط بین فیثاغورسیان و ریاضیدانان مکتب اسکندریه بودند. نظر افلاطون درباره ریاضییات این بود که این علم عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می سازد و اداره کنندگان جامعه باید ریاضی بدانند. معروف است که افلاطون بر سر در آکادمی خود نوشته بود: «هر کس هندسه نمی داند وارد نشود.»

      کارهایی که معاصران افلاطون انجام دادند:

      (الف) کشف مقاطع مخروطی (مقاطع مخروطی معمولا شامل دایره، سهمی، هذلولوی و بیضی میشود.)

      (ب) تضعیف مکعب (چگونگی ترسیم ضلعی از یک مکعب -فقط با خط کش و پرگار- که حجم آن مکعب دو برابر حجم مکعبی مفروض است.)

      (ج) تثلیث زاویه (چگونگی تقسیم یک زاویه دلخواه به سه قسمت مساوی-فقط با خط کش و پرگار)

      (د) تربیع دایره (چگونگی ساختن مربعی که دارای مساحتی برابر با مساحت دایره مفروضی باشد -فقط با خط کش و پرگار)

      توضیح: توجه کنید که می توان ثابت کرد هیچکدام از کارهای بالا -یعنی تضعیف مکعب، تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمی توان فقط به وسیله خط کش و پرگار انجام داد که داستان مفصل و جالبی برای خود دارد. همچنین توجه کنید که تربیع دایره پیوند نزدیکی با محاسبه عدد پی دارد (در صفحه  ۱۱۶ جلد اول کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز،می توانید تاریخچه زیبایی از عدد پی را مشاهده فرمایید که شامل ۳۸ مدخل است از کارهای یونانیان، مسلمین، اروپائیان و ریاضیدانان عصر جدید درباره این عدد.)

    4. اقلیدس: او استاد ریاضیات دانشگاه اسکندریه بود و احتمالاْ در آتن یونان درس خوانده است. اقلیدس در دوران خود، به فروتنی و توجهش به دیگران معروف بود. بد نیست بدانیم که اسکندریه در آن زمان در حدود پانصد هزار نفر جمعیت داشت و دانشگاه آن بسیار بزرگ و مجهز به سالنهای سخنرانی، آزمایشگاه، خوابگاه و کتابخانه بود و در این کتابخانه حدوداْ ششصد هزار طومار پاپیروس وجود داشت و حدود هزار سال پابرجا ماند.

      - اقلیدس حدود ۱۰ کتاب تالیف کرده است که مهمترین اثر او کتاب اصول اوست که شاید یکی از
      مهم ترین کتاب های تمام تاریخ بشر باشد. لازم است بدانیم که این اثر به وسیله مسلمین به
      دست اروپائیان رسید و اروپائیان اصول اقلیدس را از عربی به لاتین ترجمه کردند.
      این کتاب شامل ۱۳ مقاله و حاوی ۴۶۵ قضیه درباره هندسه مسطحه، هندسه فضایی، نظریه
      اعداد و جبر مقدماتی هندسی است.
      - قضایای معروف این کتاب: آلگوریتم اقلیدسی (برای تشخیص متباین بودن دو عدد)، قضیه اصلی
      حساب و اثبات این که تعداد اعداد اول بی نهایت است.
      - احتمالاْ این کتاب تدوینی منظم و زیبا از آثار ریاضیدانان قبل از اقلیدس به همراه کارهای خود
      اقلیدس است و شاید قصد او از تالیف این کتاب این بوده است که یک کتاب درسی مقدماتی
      در ریاضی عمومی بنویسد. البته اقلیدس در ریاضیات عالی نیز کتابهای درسی تالیف کرده
      است.
      - به نظر می رسد که مهمترین کار او در این کتاب آن باشد که سعی کرده است تمام ۴۶۵ قضیه را  فقط بر اساس ۱۰ اصل موضوع اثبات کند.(مراجعه کنید به صفحه ۱۵۰ جلد اول کتاب تاریخ
      ریاضیات هاوارد د. ایوز) 

    5. ارشمیدس: اروپائیان معمولاْ «ارشمیدس»، «نیوتن» و «گاوس»  را بزرگترین ریاضیدانان همه اعصار می دانند. اگر این مطلب درست هم نباشد، ظاهراْ می توان گفت ارشمیدس بزرگترین ریاضیدان عهد باستان بود.

      - حدوداْ در سال ۲۸۷ قبل از میلاد متولد شد و به احتمال قوی مقداری از عمر خود را در دانشگاه
      اسکندریه گذراند.

      - درباره زندگانی ارشمیدس مطالب جالبی نقل شده است: دفاع از سیراکوز (شهر ارشمیدس)
      در مقابل سپاه روم و شکست رومیان فقط به وسیله اهرمها و جرثقیلها و نیز تمرکز ذهنی بسیار قوی بطوریکه هنگام حل مساله از اطراف خود کاملا بی خبر می شد- و همین بی خبری بالاخره باعث مرگ او شد.

      - ارشمیدس سه کتاب درباره هندسه مسطحه، دو کتاب درباره هندسه سه بعدی، دو مقاله
      درباره نظریه اعداد، دو رساله (نامه)  درباره ریاضیات کاربردی (در واقع فیزیک ریاضی) و یک
      رساله (نامه) تحت عنوان «روش» دارد که روش او را در کشف بسیاری از قضایا شرح می دهد.
      این رساله در سال ۱۹۰۶ میلادی کشف شد.

      - مقاله های ارشمیدس شاهکارهایی از بیان ریاضی هستند و تا حد قابل توجهی به مقاله های
      امروزی شباهت دارند.

      - او در بسط اولیه مفاهیم انتگرال برای محاسبه مساحتها و حجمها نقش اساسی دارد.
      او روش کلاسیک برای محاسبه «عدد پی» را کشف کرد. در این روش با ترسیم چند ضلعیهای
      محاطی و محیطی برای دایره واحد، به تقریب جالبی برای «عدد پی» می رسیم.

      - ارشمیدس - به ادعای ابوریحان بیرونی - کاشف فرمول مشهور «هرون» برای مساحت مثلث
      برحسب سه ضلع آن است.

      - او در رساله ای درباره مقدار تقریبی دانه های شنی که کره ای به مرکز زمین و به شعاع
      زمین تا خورشید را پر نماید، صحبت کرده است.

      - در رساله دیگری سعی می کند که یک معادله هشت مجهولی با مقادیر صحیح را که به
      وسیله هفت معادله خطی به هم مربوط شده اند، حل کند و یکی از جوابهای این معادله عددی است با بیش از «۲۰۶۵۰۰» رقم!!

    6. آپولونیوس: هندسه دان کبیر باستان و واضع رسمی مقاطع مخروطی که نامهای یونانی
      بیضی، سهمی و هذلولوی به وسیله او به این شکلهای هندسی داده شده است.

    7. دیوفانتوس: این ریاضیدان، دارای نبوغ عجیبی در نظریه جبری اعداد بود و مسائل ارائه شده توسط او در بسط جبر و نظریه اعداد اهمیت بسیاری دارند.

    8. پاپوس: شارح بزرگ آثار هندسه دانان یونانی که ما قسمت عمده دانش خود را از هندسه
      یونان باستان، به رساله بزرگ او مدیونیم.
|+| نوشته شده توسط مهدی تقیان در شنبه چهاردهم آبان 1390  |
|+| نوشته شده توسط مهدی تقیان در شنبه چهاردهم آبان 1390  |
 
 
شگفتی ها وزیبایی های ریاضی
khayam.jpg

دیباچه :

« هانری پوانکاره » در مورد زیبایی ریاضیات این گونه می گوید :

« دانشمند ، طبیعت را به خاطر فایده اش مطالعه نمی کند، آن را برای این مطالعه می کند که از آن لذت می برد و چون طبیعت زیباست از آن لذت می برد . اگر طبیعت زیبا نبود، ارزش ِ شناختن نداشت و اگر طبیعت ارزش شناختن نداشت، زندگی هم ارزش زیستن نداشت. البته، من در اینجا از آن گونه زیبایی که حواس را متأثر می کند، یعنی از زیبایی اوصاف و ظواهر، سخن نمی گویم؛ نه به این جهت که این زیبایی ها را دست کم بگیرم، نه چنین نیست، اما این زیبایی ربطی به علوم ندارد، منظورم زیبایی ژرف تری است که از نظم هماهنگ اجزا بوجود می آید و تنها هوش ِ ناب قادر به درک آن است. »

« برتراند راسل » نیز زیبایی ریاضیات را این گونه به رخ می کشد:

« ریاضیات هیچ حقیقتی ندارد اما بالاترین زیبایی را داراست. یک زیبایی سرد و جدی، درست مانند یک تندیس، به طور شگفت انگیزی محض، و توانا در نهایت جدیت، به طوری که تنها بزرگترین ِ هنرمندان می توانند این گونه باشند. »

دانش آموزان اغلب فکر می کنند که ریاضیات یک درس آموزشی خشک است. ما برخود می دانیم که زیبایی های آن را برای شما به تصویر بکشیم.

هدف ما در این قسمت نیز همین است و سعی خواهیم کرد مواردی را که می توانند زیبایی ریاضیات را زنده سازند، در دسترس شما قرار دهیم.

از آن جا که مطالب این قسمت سایت برای تمام دانش آموزان و دانشجویان ارائه می شود، شرح و توضح ها ، به اندازه ی کافی ساده و قابل فهم ارائه خواهند شد و در برخی موارد بیان توضیحات و تحقیقات بیشتر به شما واگذار شده است.

 
پرویز شهریاری
بشر برای این نیامده که کورکورانه و از روی نادانی کار کند، بلکه
باید پیوسته با آنچه نادرست است در جدال و با آنچه نارواست در
 جنگ باشد.
ژوزف ارنست رنان
 
روش آموزش امروزی، دو جنبه و يک هدف دارد. دو جنبه آن عبارت است از: روش يادگيری و روش ارزيابی. هدف آن، تربيت آدم­هايی است که بتوانند دشواری­های جامعه خود يا جامعه جهانی را حل کند. درباره روش ياد دادن سخنی نمی­گويم، چون همه از آن آگاهيم و با آن بزرگ شده­ايم و از نتيجه کم و بيش ناگوار آن هم، اطلاع داريم. روش ارزيابی و نحوه امتحان را هم می­شناسيم. تمام شرط­ها را برای ترس و نگرانی دانش­آموز فراهم می­کنيم و بعد در يک جلسه کوتاه، زير فشار روحی بی­اندازه­ای، (دانش) او را (ارزيابی) می­کنيم. من به نادرستی اين روش، که به نظرم از بيخ و بن نادرست است، نمی­پردازم و تنها به چند نکته جانبی آن اشاره می­کنم.
زمانی که با يکی از همکارانم که حاضر نبود با افزودن تنها يک نمره، دانش­آموزی را از (مردودی) نجات دهد، صحبت می­کردم، به او که به دقت امتحان خود اطمينان داشت گفتم: اگر همين امروز، يک بار ديگر از دانش­آموزانت امتحان بگيری و پرسش­ها را هم، تا حد همان پرسش­های بار اول قرار دهی، آيا می­توانی با اطمينان بگويی که همه آن­ها، همين نمره را خواهند گرفت؟ به طور طبيعی پاسخ او منفی بود. گفتم: اگر برای نمونه، يک هفته ديگر به دانش­آموزانت وقت بدهی و بعد امتحان بگيری، چطور؟ باز معلوم بود که نمره­ها تغيير می­کند. گفتم: راه­حل ساده­تری انتخاب می­کنيم، نه امتحان تازه­ای لازم است، نه دقت بيشتری. برای دانش­آموزان، همين ورقه­ها را، با تغيير ميزان نمره­ای که به هر پرسش داده­ای، دوباره تصحيح کن، از آنجا که ارزش هر پرسش را خودت معين کرده­ای، می­توانی به صورت ديگری آن­را تغيير دهی، آن وقت چه خواهد شد؟ روشن بود که باز هم نمره­ها تغيير می­کردند. گفتم: اگر با همين پرسش­ها و همين بارم، ورقه­ها را چند ماه ديگر، خودت تصحيح کنی، به شرطی که نمره­های امروز را فراموش کرده باشی، با تفاوت احتمالی که در روحيه امروز و آن روزِ تو به وجود می­آيد، آيا مطمئنی همين نمره­ها را، روی ورقه­ها بگذاری؟ در اينجا هم پاسخ منفی بود.
خوب، اين چگونه ارزشيابی است که با تغيير هر عاملِ کوچک آنف بدون اينکه در (دانش) فرد مورد آزمايش تغييری پيش آيد، نتيجه را دگرگون می­کند؟ گمان می­کنم همين چند جمله، برای بی­ارزش بودن اينگونه ارزشيابی کافی باشد.
سال­ها پيش، در يکی از دبيرستان­ها، دانش­آموزی داشتم که مرا به شگفتی می­انداخت. هر وقت در کلاس چيزی از او می­پرسيدم، با اطمينان و قدرت کافی پاسخ می­داد. ولی برگ­های امتحانی او، هميشه از متوسط هم اندکی پايين­تر بود. تصميم گرفتم، در يکی از جلسه­های امتحان، بدون اينکه خود او متوجه شود، مراقب کار او باشم، او پيش از اينکه امتحان آغاز شود، روی مسئله­ای که به ظاهر، ذهن او را به خود مشغول داشته بود، کار می­کردچنان در خود فرو رفته بود که متوجه پخش پرسش­های امتحانی نشد. من هشداری به او ندادم. بيش از يک ساعت از وقت امتحان گذشت و او همچنان به کار خود مشغول بود. من تاب نياوردم و به او اعلام کردم که روز امتحان است و وقت دارد تمام می­شود. با ناراحتی نگاهی به پرسش­ها کرد. قلم را روی کاغذ گذاشت و آغاز به نوشتن کرد، بعد از نيم ساعت بلند شد و برگ امتحانی را تحويل داد و رفت. نمره امتحانی او، مانند هميشه درخشان نبود. ولی من متوجه شدم، او از آن­هايي است که به راه فکری خود بيشتر اهميت می­دهد تا نمره­ای که در کارنامه­اش بيايد. اين دانش­آموز به سفارش من، و بر خلاف سفارش ديگران، رشته­ رياضی را دنبال کرد و امروز يکی از صاحب­نظران در رشته رياضی است و در يکی از معتبرترين دانشگاه­های جهان، به تدريس و تحقيق در رياضيات مشغول است.
چه بايد کرد؟ بی ترديد من نمی­توانم نسخه­ای شفابخش ارائه کنم. من که عمری معلم بوده­ام و کم و بيش با شيوه مرسوم، تدريس کرده­ام، درد را بهتر می­شناسم تا درمان را، درباره موضوع به اين پيچيدگی چون آموزش، نبايد منتظر بود، نسخه­ای فوری و قطعی پيدا شود. آنچه در اينجا می­گويم و نتيجه­ای از تجربه معلمی من است، تنها می­تواند نوعی مسکن تلقی شود، من از دو سفارش و يک پيشنهاد سخن خواهم گفت:
نخستين سفارش من اين است که تا جايي که ممکن است، از کار انفرادی پرهيز کنيم و دانش­اندوزی را به صورت يک کارگروهی درآوريم. باز هم از يک تجربه خود ياد کنم. اين پيش­آمد مربوط به زمانی است که من دانشجو بودم و درضمن در يکی از دبيرستان­ها تدريس می­کردم. در آن دبيرستان، سه کلاس دوم دبيرستان وجود داشت که درس هندسه يکی از آن­ها به عهده من گذاشته شده بود. من، بعد از نزديک به يک ماه، که با کلاس به اندازه کافی آشنا شده بودم، دانش­آموزان را به گروه­های سه نفری تقسيم کردم و در هر گروه يک دانش­آموز به اصطلاح (قوی)، يک دانش­آموز (متوسط) و يک دانش­آموز (ضعيف) قرار دادم. رو به کلاس گفتم: من به فرد نمره نمی­دهم و فرد را نمی­شناسم. برای من گروه مطرح است. برای نمونه، وقتی شما امتحان بدهيد، هرکسی بايد برگ خودش را بنويسد، ولی من سه برگ هر گروه را به هم سنجاق می­کنم، مجموع نمره­های سه گروه را به سه تقسيم می­کنم و نتيجه را برای هر سه نفر می­گذارم... حدس می­زنيد بازتاب اين حرف در کلاس چگونه بود؟ دانش­آموزان ضعيف خوشحال بودند، ولی فرياد دانش­آموزان قوی بلند شد که: اگر دوست من درس نمی­خواند، من چه گناهی کرده­ام؟ ولی من بی­احساس و بی­تفاوت، روی تصميم خود پای فشردم. دانش­آموزان باور نکردند، ولی وقتی در سه ماه نخست، به همين ترتيب عمل کردم، به خود آمدند. البته حدس می­زنيد که من از طرف پدر و مادرها و مسئولان مدرسه، زير چه فشار روحی قرار گرفتم. همه را تحمل کردم و در تصميم خود تغييری ندادم. دانش­آموزان به جان هم افتادند، وقت­های زيادی را در مدرسه می­ماندند و به هم کمک می­کردند، به خانه­های هم می­رفتند، هر گروه از گروه­های ديگر کمک می­گرفت و در همه اين موردها، دانش­آموزان قوی به علت از دست دادن نمره خوب پيش­قدم بودند. امتحان سه ماهه دوم را هم به همين ترتيب انجام دادم. تلاش دانش­آموزان بيشتر شد و همراه با آن، فشار به من هم روزافزون­تر بود، حتی در اثر شکايت پدر و مادرها، از طرف وزارت فرهنگ آن زمان، کسانی برای رسيدگی به اين رفتار ظالمانه من به دبيرستان آمدند، ولی خوشبختانه تا بازرس­ها منتظر گزارش­های خود بودند، سال تحصيلی به پايان خود رسيد و برنامه امتحانی آخر سال را دادند. نمره­های آخر سال را به ترتيب معمول دادم، يعنی نمره هرکسی را به خودش، نتيجه کار شگفتی­آور بود. در کلاس من هيچ­کس نمره کمتر از 15 نداشت. همه از درس هندسه قبول شدند. و اين معجزه کار گروهی بود. اين تجربه نتيجه ديگری هم داشت. معلوم شد تقسيم دانش­آموزان به (با استعداد) و (کم استعداد) آن­طور که گمان می­شود، ساده نيست و اگر روش کار درست باشد، بسياری از (کم­استعدادها) به گروه (بااستعدادها) می­پيوندند، به جز همه اين کارها، کارگروهی، رابطه انسانی بين دانش­آموزان را تقويت می­کند، از رقابت­های ناسالم آن­ها می­کاهد و محيطی به وجود می­آورد که هرکسی، خودش را مسئول سرنوشت ديگری هم می­داند. بايد عادت کنيم در تمام کارهای علمی، تک­روی را کنار بگذاريم. شما آزمايش کنيد، حتی اگر يک داستان را دو يا سه نفری با هم بخوانيد و درباره آن بحث کنيد، در مقايسه با مطالعه انفرادی چه نتيجه­های شگفت­انگيزی به دست می­آوريد. طبيعت کارگروهی ايجاب می­کند که با بحث و انتقاد و خرده­گيری همراه باشد و همين وضع، به سالم­تر شدن رابطه­ی انسانی افراد و هم به عميق­تر شدن يادگيری دانش، کمک فراوان می­کند.
و اما سفارش دوم من اين است که در دانش­آموزان، اعتماد به خود به وجود آوريد. وقتی به کسی از چپ و راست، وصله بی­شعوری و بی­استعدادی زده می­شود، او به تدريج اين اعتقاد ديگران را می­پذيرد، اعتماد نسبت به خود را از دست می­دهد و باور می­کند که نمی­تواند چيزی ياد بگيرد.
در همان دبيرستان و در کلاس ديگری، و باز هم در درس هندسه، دانش­آموزی بود که همه دبيران و اداره­کنندگان مدرسه، از او به بدی ياد می­کردند. پيش از آنکه من به کلاس بروم، مدير مدرسه به من هشدار داد که مواظب اين دانش­آموز باشم، چون بی­تربيت و بی­شعور است. وقتی که من از درس رياضی او پرسيدم، با لبخند تمسخرآميزی به من گفت: من می­گويم او بی­شعور است و تو می­پرسی، آيا رياضيات را می­فهمد يا نه؟ من با ترس و دلهره وارد کلاس شدم. می­ترسيدم، اين دانش­آموز، ناگهان برخيزد و صندلی يا چيزی ديگر، به سمت من پرتاب کند. برای اينکه او را بشناسم، دفتر کلاس را با خود بردم و دانش­آموزان را يکی يکی صدا کردم.  او هم مانند ديگران، با شنيدن نام خود برخاست و بعد نشست. مسئله­ای را مطرح کردم. شکل آن را روی تخته کشيدم و به ياری خود دانش­آموزان آغاز به حل آن کردم. گاه از اين دانش­آموز به اصطلاح (بی­شعور) هم چيزی می­پرسيدم، ولی تلاش می­کردم، پرسش من طوری باشد که او پاسخ درست بدهد. هر بار که او پاسخ درست را می­داد، با رضايت به او نگاه می­کردم و می­گفتم: آفرين، تو خوب می­فهمی! نگاه او حاکی از آن بود که تمجيدهای مرا باور ندارد. همه به او می­گفتند تو چيزی نمی­فهمی و حالا کسی پيدا شده و به فهم او آفرين می­گويد، ولی قيافه و بيان من جدی بود و به تدريج اطمينان پيدا کرد که من قصد مسخره کردن او را ندارم. گاهی می­ديدم، در زنگ­های تفريح به دنبال اين و آن که: شما را به خدا، درس هندسه را به من بگوييد. من تنها نزد يک نفر آبرو دارم و نمی خواهم اینجا هم آبرویم برود . و من هرگز نگذاشتم آبروی او برود. در تمام جلسه ها از او پرسیدم ، ولی همیشه به نحوی که او بتواند پاسخ درست را بدهد. این دانش آموز کم کم در درس هندسه راه افتاد و نسبت به آن علاقه مند شد. نزدیکی های پایان سال بود که پدرش به دیدار من آمد. او می خواست بداند من چه کرده ام که پسرش تا این اندازه به هندسه علاقه مند شده است ، در حالی که هنوز هیچ یک از درسهای خود را یاد نمی گیرد. پدرش می گفت حتی سر میز نهار هم ، همانطور که غذا می خورد، درباره مساله هندسه فکر می­کند و در جیبش کاغذی آماده دارد که هر جا فرصتی پیش آمد، روی مساله مورد علاقه اش کار کند. به پدرش گفتم: من تنها به او فهمانده ام که بر خلاف آن چه همه می گویند ، او بی شعور نیست و می تواند همه چیز را بفهمد . البته، این موضوع را با روش خاص خودش گفته­ام، نه با مذاکره روبه رو و صریح. این دانش­آموز در آن سال از درس هندسه، نمره بسیار خوبی گرفت، ولی به دلیل نمره­های بسیار پایینی که در درس­های ديگر گرفته بود، مردود شد.. می­بینید که اعتماد به خود معجزه­گر می­­باشد، اعتقاد دارم هر آدمی  می­تواند دیگران را فریب دهد، ولی برای اینکه کسی بتواند خودش را فریب دهد، به نیروی روحی بی اندازه­ای نیاز دارد. ما همیشه درباره خود، با افراط و تفریط داوری می­کنیم. به ویژه درباره قابلیت­های خود، خیلی کمتر از آنچه هستیم، تصور می­کنیم، این به ویژه، درباره جوان­ها که خیلی زود زیر تلقین بزرگترها قرار می­گیرند، بیشتر صدق می­کند. بارها پیش آمده است، دانش­آموزی را که گمان می­کرده است درس را نمی­فهمد، واداشته ام تا درس تازه­ای را چنان یاد بگیرد که بتواند آن را به همکلاسی­های خود درس بدهد و برای اینکه انگیزه­ای داشته باشد، با او قرار گذاشته­ام که نمره تدریس او، همان نمره امتحانش خواهد بود و اغلب، از عهده این کار سنگین به خوبی برآمده­اند و با این موفقیت، چنان اعتمادی نسبت به خود پیدا کرده­اند که دیگر از آن درس عقب نمانده­اند، گروه­بندی کلاس­ها به " قوی" و "ضعیف"، به شدت به دانش­آموزان نسبت به قابلیت خود، لطمه می­زند و آن­ها را از پیشرفت عادی خود باز می­دارد. این برچسب­ها که بیشتر مطابق با واقع نیست و نتیجه­ای از " ارزشیابی" نادرست است، دانش­آموز را به کلی در برابر خودش ناتوان و بی­دفاع می­کند و از مسیر پیشرفت بازش می­دارد.
یکی از راه های دیگری که به دانش آموزان کمک می کند تا اعتماد بیشتری نسبت به خودشان پیدا کنند، این است که به بخش هایی از درس را که ساده تر است، نا تمام بگذاریم و نتیجه گیری کامل و دقیق را از خود آنها بخواهیم. تجربه نشان داده است که بیشتر دانش آموزان به خوبی می توانند، ضمن کار گروهی و به کمک یکدیگر، بدون یاری معلم، درس های علمی را فرا بگیرند. در این صورت معلم می تواند تنها نقش راهنما را داشته باشد و نارسایی استدلال های احتمالی آنها را اصلاح کند.
و اما درباره ی پیشنهاد: بیشتر دانش آموزان از این موضوع گله دارند که باید در همه ی زمینه های علم و ادب، آن هم به صورت انبوه و بی ارتباط به هم، مطالبی را یاد بگیرند، بدون اینکه ذوق و آینده ی آنها در نظر گرفته شود. در برخی از کشورها، برای رفع این دشواری، روش انتخاب واحد را در دبیرستان ها هم اجرا می کنند که تا اندازه ای وضع را بهتر می کند . ضمن اینکه انتخاب واحد هم، دشواری های دیگری را در پی دارد که به نوبه خود کم اهمیت نیستند . پیشنهاد من این است :  درس های دبیرستانی را برای همه یکنواخت کنند . این درس ها باید شامل مطالبی باشد که دانستن آن ها برای هر فرد جامعه امروزی انسانی لازم است . این برنامه ها باید طوری تنظیم شود که در هر هفته به بیش از 20 ساعت درس نیاز نباشد تا بتوان تمام بعد از ظهرهای دانش آموزان را آزاد گذاشت ، در کنار درس های دبیرستانی ، کلاس های ویژه ای در همه رشته های گوناگون فرهنگ و هنر با راهنمایان معلمان خاص خود تدارک دیده شود که برای نمونه ، نام آن ها ( انجمن ) می گذاریم : انجمن ریاضیات ، انجمن فیزیک ، انجمن نقاشی ، انجمن موسیقی ، انجمن ورزش ، انجمن کشاورزی ... هر دانش آموز می نواند به میل خود و با راهنمای معلمان ، یکی از انجمن ها را برای خود انتخاب کند و یا در هیچ انجمنی شرکت نکند . برای نمونه ، کسی که انجمن ریاضی را انتخاب می کند ، در هفته به جز درس های دبیرستانی که برای همه مشترک است ، 12 ساعت تنها ریاضیات می خواند . انجمن ریاضی برنامه منظمی دارد و معلوم است در هر سال چه مطالبی باید خوانده شود . کسی که می خواهد تحصیل خود را بعد از دبیرستان ادامه دهد ، باید دوره 5سال یکی از انجمن ها را گذرانده باشد. در سال اول انجمن، می توان آن را تغییر داد . در ضمن دان آموزانی که انجمن ریاضی را انتخاب کرده اند ، این وظیفه را هم دارند که دانش آموزان کلاس صبح خود یا دانش آموزان کلاس پایینتر خود را در دوره عادی دبیرستان از نظر ریاضی تقویت کنند ، یعنی در واقع دستیار دبیر ریاضی باشند . از این ره به همکاری با دیگران و به عمیق تر کردن آگاهی های خود به احساس مسوولیت نسبت به سرنوشت همسالان خود ، علاقه مند می شوند .
|+| نوشته شده توسط مهدی تقیان در شنبه چهاردهم آبان 1390  |
 
|+| نوشته شده توسط مهدی تقیان در شنبه چهاردهم آبان 1390  |
 
زندگی نامه اسحاق نیوتون
مشاهده نسخه ویژه چاپ از "زندگی نامه اسحاق نیوتون"

نویسنده : امیر حسین سحر خیز(دانش آموز پایه اول راهنمایی واحد آبشناسان)  کد مطلب : 164

همه مطالب سایت مطالب و مقالات علمی مطالب ارسالی دانش آموزان و دانش آموختگان

 

آیزاک نیوتن، مردی که در قدرت نبوغ از مقام انسانی تجاوز کرد.
(این مقاله در اولین همایش دانش آموزی علوم تجربی که به همت مدارس راهنمایی علامه طباطبایی در تاریخ 18 اردیبهشت 1387 برگزار شد به دو صورت بروشور و پوستر ارائه گردید)  

 

در صورتیکه مایل هستید آخرین مطالب، اخبار، اطلاعیه ها، نمونه سوالات و نشریات مجتمع را از طریق ایمیل دریافت نمایید، در خبر نامه سایت مجتمع عضو شوید :

به نام خدا
آیزاک نیوتن
مردی که در قدرت نبوغ از مقام انسانی تجاوز کرد
در کریسمس1642یعنی سالی که گالیله درفلورانس درگوشه ی انزوااز دنیا رفت یک نوزاد پسر در روستایی نزدیک لیکن شایر در خانواده ای کشاورز از طبقه ی متوسط به دنیا آمد مادرش هانا نیوتن شوهرش را مدت کوتاهی قبل از تولد فرزندش از دست داده بود شوهرش که او نیز اسحاق نام داشت مردی بود با رفتار غیر عادی و عصبی مزاج و زود رنج و هانا زنی مقتصد خانه دار صاحب کفایت و صنعتگری با لیاقت بود . ایزاک دوره ی کودکی شادی نداشت مادرش در سال های بعد از نو ازدواج کرد و آیزاک را تحت سرپرستی مادر بزرگش قرار داد در آن دهکده هیچ مدرسه ای وجود نداشت و او تا سن دوازده سالگی به مدرسه نرفت آیزاک کودک قوی بنیه ای نبود بنابراین از بازی های پر هیاهو و زد و خورد با همسالان کناره می گرفت و به جای این که از تفریحات آ نان پیروی کند شخصاً برای خویش تفریحاتی اختراع می کرد که نبوغ وی در ضمن آن ها خود نمایی می کرد. طبق نصایح دایی وی او را به مدرسه گرانتهام فرستادند او رادر کلاس ما قبل آخر جای دادند او همواره مورد طعنه و طنز شاگردانی واقع می شد که از وی قوی تر بودند روزی از روز ها یکی از ایشان با بی رحمی بسیار کتک مفصلی به او زد در نتیجه ی تشویق یکی از معلمان شاگرد مزبور را به مبارزه طلبید و در این مبارزه نیوتن پیروز شد تا آن زمان او توجه زیادی به درس از خود نشان نداده بود اما بر اثر این واقعه تصمیم گرفت به آنان ثابت کند که مغز وی قوی تر از ایشان است با جدیت بکار پرداخت و در اندک مدتی بهترین شاگرد کلاس شد . آیزاک علاقه ی زیادی به کارهای دستی داشت و اغلب آنها را به تنهایی می ساخت از کارهای جالب او آسیاب بادی ساعت آبی و ساعت آفتابی بود که این اختراع در موزه ی انجمن سلطنتی لندن نگهداری می شود او به هنر نقاشی و جمع آوری گیاهان نیز علاقه مند بود طرح هایی که می کشید زیبا و جالب بوده است ساعت آبی او سالهای سال وقت را به دقت بهترین ساعتهای معمولی نشان میداد یکی از کارهای دستی او بادبادکی بود که می توانست شمع روشنی را با خود به هوا ببرد جعبه ای از شعله شمع محافظت می کرد آیزاک بادبادکش را شب ها بر فراز شهر گرنتهام به هوا می فرستاد مردم هنگامی که این نور لرزان و عجیب را در هوا می دیدند می تر سیدند و این همان چیزی بود که منظور آیزاک بود . پیشرفت درسی او در مدرسه باعث شد که مدیران مدرسه و دایی او به این نتیجه برسند که او قادر است برنامه دانشگاه کمبریج را درک کند تصمیم قاطع روزی گرفته شد که دایی آیزاک او را غافلگیر کرده بود او در کنار پرچین مزرعه و در خفا سخت مشغول مطالعه بود در حالی که همه فکر می کردند برای کمک با کارگران مزرعه به قصد خرید به مغازه رفته است .
آیزاک در هیجده سالگی امتحان ورودی دانشگاه کمبریج را با موفقیت پشت سر گذاشت و در سال 1660 وارد کالج ترینیتی شد معلم ریاضی اودر دانشگاه اسحاق بارو نام داشت که در عین حال ریاضی دان وعالم علوم الهی بود به استعداد فوق العاده نیوتن در ریاضی پی برده بود او را تشویق کرد تا تحصیلاتش را در ریاضی تکمیل کند .
او مدت چهار سال به تحصیل ریاضی پرداخت و در سال 1665 با درجه لیسانس فارغ التحصیل شد.
زمانی که در صدد ورود به دوره ی کارشناسی ارشد بود دانشگاه کمبریج بر اثر همه گیری طاعون در لندن و حومه تعطیل شد.
نیوتن به روستای خویش بازگشت.در طول دو سال او در خانه اش به مطالعات خود در زمینه ی حساب نور شناسی وگرانش ادامه داد.در همین زمان بود که هوش و استعداد این نابغه ی بزرگ اشکار شد. او تمام جزوه ها و کتابهایش را در دانشگاه جا گذاشته بود فکر خود را آزاد گذاشت که به تنهایی از منابع خاص خود استفاده کند . در این هنگام او 22 یا 23 سال بیشتر نداشت. در این دو سالی که در روستا بود حساب دیفرانسیل و انتگرال و قانون جاذبه ی عمومی و تئوری نور را بنیان گذاشت.نسخه ی خطی که تاریخ آن 20 مِی1665 میباشد نشان میدهد که نیوتن در 23 سالگی بقدر کافی اصول حساب عناصر بی نهایت کوچک را پیش برده بود که بتواند انحنای هر منحنی متصل را در یک نقطه حساب کند و مماس بر منحنی را در این نقطه رسم کند .در سال 1667 مجددا به دانشگاه کمبریج بازگشت و در سال 1669 به عنوان استاد ریاضیات جانشین اسحاق بارو شد و به عنوان پرفسور مشغول تعلیم و اموزش شد . سر انجام برخی از ایده هایش را برای اولین بار اشکار کرد و بر روی کاغذ اورد .
اسحاق نیوتوننظریه ی گرانش او بر اساس خاطره ای که خود او نقل کرده اینطور شکل گرفته که یک روز کنار پنجره ی اتاق خانه اش به تما شای باغ نشسته بود افتادن سیبی از درخت نظرش را به خود جلب می کند سال ها بعد در 15 آوریل 1726 او به دوست نویسنده اش ویلیام اِستکلی گفت : واقعه ی مذکور این سوال را به ذهنم آورد چرا سیب همیشه مستقیماً به پایین می افتد چرا به جای حرکت به سمت مرکز زمین به طرفین یا بالا نمی رود غالب مورخین علوم این نکته را پذیرفته اند که نیوتن در سال 1666 دست به یک سلسله محاسبات تقریبی زد تا ببیند آیا قانون جاذبه ی عمومی او می تواند قوانین کپلر را توضیح دهد یا خیر ؟ انتشار قانون جاذبه ی عمومی 20 سال طول کشید علت تاخیر نیوتن آن بوده است که وی نمی توانست مسئله ی مربوط به حساب انتگرال و دیفرانسیل را حل کند و این مسئله در قانون جاذبه ی عمومی به صورتی که مورد توجه او قرار گرفته بود نقش اساسی به عهده داشت.
قانون گرانش در نهایت به این صورت توسط نیوتن تعریف شد:
هر ذره ی ماده همه ی ذرات دیگر ماده را با نیرویی جذب می کند که تابع سه عامل زیر است:
1- جرم جسم ( M ) 2- جرم جسم دوم ( m) 3- فاصله ی میان دو جسم ( r )
بیان صوری این قانون چنین است هر ذره ی ماده در جهان هر ذره ی دیگر را با نیرویی جذب می کند که متناسب به حاصل ضرب جرم های آنهاست وبا مجذور فاصله میان آنها نسبت عکس دارد .
Mm
F=G
r2
این قانون مهم جهانی در حل مسایل گوناگون کمک فراوانی کرد مانند:
1-سقوط ازاد اجسام:هر جسم که به گونه ای نگه داشته نشده باشد به سمت مرکز زمین سقوط خواهد کرد.
2-جذر و مد اقیانوس ها و جذر و مد جوی.
3-حرکت ستاره های دنباله دار.
4-حرکت سیارات:اگر نیروی گرانش میان زمین و خورشید نباشد زمین مماس بر مسیر خود پرتاب خواهد شد.





در اواخر دهه ی 1660 نیوتن درباره ی شکست نور تحقیق میکرد. او در یافت که اگر نور سفید از یک منشور عبور کند به طیفی از رنگها تجزیه میشود هم چنین به وسیله ی قرار دادن منشور مشابه ی دیگری در مسیر نور تجزیه شده به صورت وارونه می توان رنگ های طیف را باز ترکیب کرد و نور سفید بدست آورد. او علت تشکیل طیف را چنین توجیه کرد:نور جریانی از ذرات کوچک است که به خط مستقیم در فضا حرکت میکنند و هنگام عبور از یک ماده ی شفاف مانند منشور این ذرات بسته به نوع لرزش خود با زاویه های گوناگون شکست می یابند در نتیجه ذرات تشکیل دهنده ی نور سفید از هم جدا شده به شکل طیف هفت رنگ ظاهر می شوند.
این ویژگی در تلسکوپ های شکستی پدیده ای را موجب می شود که به آن پراکندگی نور می گویند لبه های عدسی های این تلسکوپ ها مانند منشور عمل کرده و نور سفید را پس از عبور از خود به صورت طیف در می آورند و در تصاویر تلسکوپ ها شیشه های رنگی های ایجاد می کند برای حل این مشکل نیوتن در سال 1668 تلسکوپ باز تابی را که توسط جیمز گریگوری طراحی شده بود کامل کرد همراه با تحلیل دقیق قوانین باز تابش و تجزیه ی نور به انجمن سلطنتی ارائه نمود نظریه ی نیوتن با مخالفت رابرت هوک و هو یگنس که صاحب تئوری موجی نور بودند روبرو شد هوک گزارشی علیه نیوتن تهیه کرد و ضمن آن تبلیغ بسیاری به نفع نظریه ی موجی نور کرد نیوتن در ابتدا خونسرد و ارام بود ولی بعد رفتارش را تغییر داد و از عصبانیت تصمیم گرفت از آن پس با هیچ کس در باره ی اکتشافات خود سخن نگوید نیوتن بر پایه ی نظریات خود کتابی با عنوان اپتیکس نوشت ولی از بیم مخالفت هوک آن را منتشر نکرد تا زمانی که خود رییس انجمن سلطنتی شده بود و رابرت هوک در گذشته بود در سال 1679 که 37 سال داشت بزرگترین اکتشافات خود را انجام داده بود اما آن ها را با نهایت دقت در مغز خود یا کشوی میز محفوظ نگه می داشت پس از آن ادموند هالی توانست با تدبیر بسیار او را وادار کند که اکتشافات خود را در زمینه ی نجوم و علم حرکات برای انتشار تدوین کند ونیوتن به این کار رضایت داد با توجه و تشویق هالی نیوتن کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعت را تکمیل کرد ( principia ) در دورانی که نیوتن به تحریر و تدوین شاهکار خود مشغول بود هرگز به سلامتی خویش توجهی نکرد فراموش کرد که خوردن وخوابیدن از لوازم زندگی است غالباً به غذایی ساده اکتفا میکرد یا اصلاً چیزی نمی خورد وبا عجله از خوابی که چند لحظه بیش ادامه نداشت بر می خاست وبا لباسی مختصر ساعت ها در کنار بستر می نشست وبه تفکر و محاسبه می پر داخت تا بتواند از پیچ وخم های مشکلات ریاضی خویش عبور کند. این کتاب در سال 1686 آماده شد و برای اظهار نظر به جامعه پادشاهی تقدیم گردید و پس از آن با سرمایه های هالی منتشر شد .
نیوتن در این کتاب قوانین کپلر را هم با توجه به قانون گرانش عمومی توضیح داد.
در بخش دیگری از این کتاب نیوتن چگونگی حرکت اجسام را در قالب سه قانون توصیف کرده این قوانین آنقدر همه فهم وآشکارند که امروز کسی گمان نمی برد نیازی به کشف شدن داشته باشد با این حال نیوتن اولین کسی بود که با نبوغ خود به وجود آن پی برد و چیستان حرکت جسم را حل کرد .
قانون اول نیوتن ( قانون لختی ) : هر جسم که در حال سکون یا حرکت یکنواخت در راستای خط مستقیم باشد به همان حالت می ماند مگر آنکه در اثر نیرو های بیرونی ناچار به تغییر حالت شود .
قانون دوم نیوتن ( رابطه ی نیرو و شتاب ) : کل نیروی وارد بر یک جسم برابر است با حا صل ضرب جرم آن جسم در شتاب آن .
قانون سوم نیوتن ( کنش و واکنش ) : برای هر عمل ، عکس العملی است مساوی با آن و در خلاف جهت آن.
مجموعه قوانین سه گانه حرکت و قانون گرانش عمومی اساس و شالوده ی فن آوری مدرن هستند و با وجود پیدایش فرضیه های تازه تر از ارزش و اعتبار آن ها کاسته نشده است .اسحاق نیوتون
نیوتن درباره ی فضا وزمان در این کتاب چنین نوشته است :
زمان یک مقیاس جهانی است که مستقل از همه اجسام وپدیده های فیزیکی وجود دارد زمان به دلیل ماهیت فیزیکی خود جریان دارد.
فضا در ذات خود مطلق بدون احتیاج به یک چیز خارجی همه جا یکسان و ساکن است.
از نظر نیوتن مکان بخشی از فضاست که یک حجم تصاحب می کند.
همین شکل نگاه کردن در قوانین نیوتن راه گشای بسیاری از ابهامات مکانیک نیوتنی بود.زمان مطلق وفضای مطلق و حرکت مطلق مواردی بودند که مکانیک نیوتنی بر اساس انها شکل گرفته بود.
در نهایت معتقد است با اطلاعاتی که در اختیار داریم نمی توان چنین نتیجه گرفت که تنها دلایل مکانیکی باعث پیدایش جهان ما شده است. او می پرسد دلایل مکانیکی چگونه می توانند توجیه کننده ی پیدایش و حرکت این مقدار عظیم از سیارات و ستارگان گوناگون و منظم باشند؟نتیجه ای که می گیرد دلالت بر وابستگی تمامی جهان به مرکزیتی مطلق است که هدایت و موجودیت همه چیز از ان جا ناشی می شود .او از روی ضرورتی که یک سیستم منظم می بایست ناظمی داشته باشد به وجود خداوند باور دارد و او را جاودانه و حاضر می داند. خداوندی که همه چیز در اختیار اوست.او می نویسد:" خدا قلمرو خداوند است " به این مفهوم است که تمامی ان چیزی که از اراده او جاری گشته تحت حاکمیت او قرار دارد. این خدای ابدی کامل بی نهایت و مطلق است.در باور نیوتن مخلوقات تمامی خصوصیات خداوند را در حد توان و ظرفیتشان دارا هستند.
توان خداوند تا ابدیت گسترده شده و موجودیتش بی نهایت است.
این نمای کلی از چهار چوب فلسفه ای بود که نیوتن به کمک ان دریافت های ریاضی و فیزیکی خود را مورد بررسی قرار می دهد و به نتایجی می رسد که امروز بنام قوانین نیوتنی می شناسیم.

***

بی خوابی مفرط احتراز از غذا خوردن و خستگی زیاد در پاییز 1692 در نزدیکی 50 سالگی باعث شد به سختی بیمار و بستری شود.خبر کسالت شدید نیوتن در قاره ی اروپا انتشار یافت و طبعا" با اغراق توا"م شد لیکن بعد که خبر بهبود او را دادند دوستانش بسیار خوش حال شدند. در سال 1693 پس از بهبودی نیوتن دریافت که حساب انتگرال و دیفرانسیل را در قاره ی اروپا همه می دانند و عموما" ابداع ان را به لایپ نیتس نسبت می دهند. در سال 1712
مسئله ی تعیین اینکه حساب دیفرانسیل و انتگرال ابداع کیست به مسئله ای حاد تبدیل شد.
لایپنیتس و برنوئیلی در سال 1696 با طرح مسئله ی ریاضی ریاضی دانان اروپایی را به مبارزه طلبیدند.
بار اول نیوتن در سال 1696 توسط یکی از دوستانش از وجود مسئله ریاضی مطلع شد. شب مسئله را حل کرد و فردا به جامعه ی پادشاهی عرضه داشت.
وقتی لایپنیتس و برنوئیلی راه حل را دیدند برنوئیلی فریاد کشید اه من شیر را بخوبی از رد پایش می شناسم..
نیوتن بار دیگر در سال 1716 در هفتاد و چهار سالگی دلیل دیگری بر نیروی فکری خود اقامه کرد. این بار لایپنیتس مسئته ای مطرح کرد و ریاضی دانان را به مبارزه طلبید و در واقع نیوتن را مد نظر داشت زیرا مسئله به نظرش مشکل بود. این بار نیز نیوتن مسئله را حل کرد در حالی که لایپنیتس گمان می کرد که دیگر شیر را در دام انداخته است.
اسحاق نیوتون
در کنار فعالیت های علمی معمول نیوتن از مسئولیت های سیاسی نیز روی گردان نبود .او در سالهای 1689 و1701و1702 به نمایندگی مجلس برگزیده شد .اگر چه تنها جمله ای که در طول این سه سال در صحن مجلس به زبان اورد تقاضای بستن پنجره ها بود !
در سال 1696 با فرمان چارلز مونتاگو رئیس خزانه داری انگلستان نیوتن منصب ناظر ضرابخانه ی سلتنطی را عهده دار شد و سه سال بعد به مدیریت ان سازمان گمارده شد. اگر چه نیوتن این مشاغل را برای سرگرمی می پذیرفت ولی گفته اند در این مقام او وظیفه ی خود را با شایستگی تمام انجام می داد.از سال 1703 تا اخر عمر رئیس انجمن سلتنطی بریتانیا و یکی از اعضای فرهنگستان علوم فرانسه بود.او در سال 1705 از سوی ملکه ان به مقام شوالیه مفتخر گردید.
اخرین روزهای زندگی وی تاثر انگیز و از جنبه ی انسانی قوی و عمیق بوده است. اگر چه نیوتن نیز مانند سایر افراد بشر از رنج فراوان بی بهره نماند اما بردباری بسیاری که در مقابل درد در دو سه سال اخر زندگی خویش نشان داد تحسین بر انگیز است. دردهای ناشی از سنگ مثانه هرگز قیافه ی ارام او را کدر نساخت و همواره نسبت به کسانی که از او پرستاری می کردند کلمات محبت امیز بر زبان داشت. در اخرین روزهای زندگی سرفهای مدام او را ضعیف کرده بود .عاقبت بعد از چند روز ی که از درد جانگداز اسوده بود در نهایت ارامش مابین ساعت یک و دو نیمه شب بیستم مارس 1727 زندگانی را بدرود گفت او این هنگام 85 سال داشت و نخستین دانشمندی بود که پیکرش در کلیسای وست مینیستر به خاک سپرده شد.
برای قدر دانی از این دانشمند بزرگ واحد نیرو را نیوتن نامیدند.
لاپلاس بزرگترین ارائه دهنده ی اکتشافات او در باره اش چنین میگوید:کتاب اصول بنای معظمی است که تا ابد عمق دانش نابغه ی بزرگی را که کاشف مهمترین قوانین طبیعت بوده است به جهانیان عرضه خواهد داشت.
لاگرانژدر باره ی او چنین می گوید:نیوتن خوشبخت بود که توانست دستگاه جهان را توصیف کند .افسوس که در عالم بیش از یک اسمان وجود ندارد.
منشی او در انجمن سلطنتی می گوید:هرگز او را ندیدم که تفریح کند و یا سرگرمی برای خود تهیه کند معتقد بود که هر لحظه از عمر که جز به تحصیل و مطالعه بگذرد هدر رفته و تباه شده است.
نیوتن چندی پیش از وفاتش با نگاهی به زندگی علمی گذشته اش درباره ی خود می گوید:من نمیدانم به چشم مردم دنیا چگونه می ایم اما در چشم خودم به کودکی می مانم که در کنار دریا بازی می کند و توجه خود را هر زمان به یافتن ریگی صافتر یا صدفی زیباتر معطوف میکند در حالی که اقیانوس بزرگ حقیقت هم چنان نامکشوف مانده و در جلوی او گسترده است.
 
اريخچه ي رياضي در قرن 17

اين قرن يكي از مهمترين قرنها در تاريخ رياضيات است زيرا اساساْ دامنه تحقيقات گسترده در رياضي، در همين قرن بر بشر گشوده شد، شايد به دليل آزاديهاي فكري بيشتر، پيشرفتهاي سياسي، اقتصادي و اجتماعي و در نتيجه رفاه بيشتر زندگي-به ويژه در مقابل سرما و تاريكي شمال اروپا.

پيشرفت علم رياضي در اين قرن آنقدر وسيع و گوناگون است كه حتي نوشتن خلاصه اي از آن نيز مثنوي هفتاد من كاغذ خواهد شد. به ناچار بايد به گزينش بعضي از كارهاي اصيلتر و مهم تر در تاريخ رياضي اين قرن تن داد. از مهمترين اكتشافات - و شايد هم اختراعات - رياضي در اين قرن مي توان به مطالب زير اشاره كرد:

الف) كشف لگاريتم

ب) تدوين علامات و نمادگذاريهاي كنوني جبري

ج) گشوده شدن پهنه جديدي در هندسه محض به ويژه هندسه تصويري

د) آغاز اتصال جبر و هندسه با كشف هندسه تحليلي

ه) پيشرفتي شگرف در نظريه اعداد و نيز تولد نظريه احتمال

و) كشف يكي از بزرگترين دستاوردهاي بشر يعني حساب ديفرانسيل و انتگرال

شايد بهترين راه براي بررسي تاريخ رياضي اين قرن، شرح مختصري از زندگاني رياضيدانان برجسته قرن هفدهم باشد.

رياضيدانان برجسته قرن هفدهم:

1. نپر: چهار اختراع، بشر را در فن محاسبه چيره دست كرد: نماد گذاري هندي-عربي، چگونگي محاسبه مربوط به كسرها، لگاريتم و رايانه ها. «جان نپر» سومين اختراع را به نام خود ثبت كرد. او به طرز عجيبي، هم سياسي و هم مذهبي بود و نبوغ او در پيشگويي وسايل جنگي چهار قرن بعد از خود اعجاب آور است. تعريف لگاريتم به وسيله نپر، بيشتر فيزيكي است تا رياضي. بد نيست بدانيم كه پايه لگاريتم نپر بر خلاف تصور عموم، عدد e نيست بلكه معكوس e است كه البته خود او چيزي در اين زمينه نمي دانست. تذكر اين نكته لازم است كه در تكميل مفهوم لگاريتم و جداول مربوط به آن، «هنري بريگز» كه يكي از دوستان نپر بود، سهم بسزايي دارد و لگاريتم معمولي در پايه ۱۰ را معمولاْ «لگاريتم بريگزي» مي نامند. لگاريتم به معناي «عدد نسبت» است كه البته اين مفهوم، همان طور كه ذكر شد بر اساس تابع تواني -كه هم اكنون تدريس مي شود- به وجود نيامد و يكي از امور خلاف قاعده در تاريخ رياضيات، كشف لگاريتم، پيش از به كار بردن نماهاست. البته سه اختراع مهم ديگر نيز در تاريخ رياضي، به نام جان نپر به ثبت رسيده است. (مراجعه كنيد به صفحه ۴ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز.)

2. پاسكال: اين نابغه فرانسوي، يكي از بنيانگذاران هندسه محض و پيشرفته و نيز نظريه احتمال است. خواص اصلي اشكال معروف هندسي را در كودكي، بدون معلم و فقط با تلاشهاي خودش به دست آورد. در شانزده سالگي مقاله اي درباره مقاطع مخروطي نوشت و در هجده يا نوزده سالگي، اولين ماشين حساب مكانيكي را اختراع كرد. اما متاسفانه در طول ۳۹ سال زندگي، به دليل افراط و تفريطهاي مذهبي، جسم ضعيف خود را بارها و بارها آزرد و چندين بار از رياضيات دست كشيد و دوباره به آن بازگشت. پاسكال را به عنوان يكي از بزرگترين «چه ها كه مي شد!!» در تاريخ رياضيات شمرده اند. بعضي از كارهاي او عبارتند از:

- تاليف مقاله مهمي درباره خواص اصلي مثلث خيام-پاسكال كه در آن به طور جالبي از قديمي
ترين احكام قابل قبول استقراي رياضي استفاده شده است.

- كشف و اثبات قضيه مشهور «هگزاگرام رمزي» كه درباره يك ۶ ضلعي محاط در يك مقطع
مخروطي است.

- پي ريزي علم احتمال به همراه «فرما» (رياضيدان بزرگ فرانسوي). اين علم به وسيله مكاتباتي
بين پاسكال و فرما در تلاش براي حل «مساله امتيازها» در يك بازي شانسي به وجود آمد.

- اثري درباره منحني سيكلوئيد. اين منحني توسط نقطه اي واقع بر محيط يك دايره، هنگامي كه
دايره در امتداد خط مستقيمي بدون اصطكاك مي غلطد، رسم مي شود. اين منحني دهها
خواص جالب و بسيار زيبا دارد و اختلافات بسياري بين رياضيدانان ايجاد كرد به طوري كه به آن
«سيب نفاق» گفتند (اين نام بر اساس يك افسانه يوناني انتخاب شده است، براي مطالعه آن
به پاورقي صفحه ۲۷ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز مراجعه فرماييد). جالب است
كه از دوران اين منحني حول محور طولها، چيزي شبيه به سيب ايجاد مي شود.

3. دكارت: دكارت را معمولاْ مبدع هندسه تحليلي مي دانند كه از روشهاي جبري براي حل مسائل هندسي استفاده مي كرد. اين كار كمك بسياري در ساده سازي مفاهيم هندسي و حل مطالب غامض و پيچيده آن كرد. او همچنين به حل معادلات با درجات بالاتر از ۲ پرداخت و قاعده زيبايي را به نام «قاعده علامات دكارت» براي تعيين تعداد ريشه هاي مثبت و منفي يك چند جمله اي به دست آورد(مراجعه كنيد به صفحه ۷۰ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز). او براي اولين بار از روش ضرايب نامعين استفاده كرد كه همان متحد قرار دادن دو چند جمله اي هم درجه براي به دست آوردن ضرايب نامعين است. البته دكارت در جهان بيرون از رياضيات، فيلسوف بسيار مشهوري است و مطالب بسياري را به جهان فلسفه تقديم كرده است كه البته بعضي از آنها كاملاْ نادرست هستند. در ضمن داستانهاي جالبي درباره چگونگي كشف هندسه تحليلي به او نسبت مي دهند كه ارزش آموزشي زيادي دارد (مراجعه كنيد به صفحه ۵۰ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).

4. فرما: معمولاْ فرما را بزرگترين رياضيدان قرن هفدهم فرانسه مي دانند. او حقوقدان بود و شغل رسميش وكالت بود، اما قسمت مهمي از ساعات فراغت خود را وقف رياضيات مي كرد. او در بسياري از شاخه هاي رياضيات كارهاي مهم و اساسي انجام داده است كه مهمترين اين كارها عبارتند از:

- تحقيقات اساسي پيرامون هندسه تحليلي. فرما را بايد در كنار دكارت يكي از موسسان
هندسه تحليلي ناميد. معمولاْ گفته مي شود كه كارهاي فرما عكس كارهاي دكارت بوده است.
دكارت از مكان هندسي شروع مي كرد و به معادله آن مي رسيد، اما فرما از معادله شروع و
سپس مكان هندسي آن را مطالعه مي كرده است.

- تاسيس نظريه نوين اعداد. فرما شهود و توانايي خارق العاده اي در نظريه اعداد داشت. قضاياي
بسياري را در اين زمينه با اثبات يا بدون اثبات بيان كرد كه بعدها درست بودن اغلب قضاياي ثابت
نشده او به ثبوت رسيد(مراجعه كنيد به صفحه ۵۲ و ۵۳ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د.
ايوز). حدس مشهور او به نام «حدس آخر فرما» در آخرين دهه قرن بيستم به اثبات رسيد!

- فرما به همراه پاسكال اساس علم احتمال را پي ريزي كرد.

- فرما در حساب ديفرانسيل نيز كارهاي اساسي كرد. او ظاهراْ اولين كسي بود كه از طريق
معادله f'(x)=0 نقاط ماكزيمم و مي نيمم يك تابع را به دست آورد(مراجعه كنيد به صفحه ۹۳
جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز). همچنين او يك روش كلي براي يافتن مماس بر
نقطه اي از يك منحني كه مختصات دكارتي آن معلوم باشد، ابداع كرد(مراجعه كنيد به صفحه ۹۳
جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).

5. رياضيدانان معروف قرن ۱۷ كه قبل و يا همزمان با نيوتن مي زيستند و در شكل گيري و پيشرفت
حساب ديفرانسيل و انتگرال نقش بسزايي داشتند: (۱) سيمون استوين (۲) لوكا والريو (اين دو همان روشي را به كار بردند كه ما براي پيدا كردن حجم يك جسم در حساب انتگرال به كار مي بريم.) (۳) كاواليري (۴) فرما (۵) جان واليس (نماد معروف بي نهايت را نيز به او مديونيم.) (۶) آيزاك برو (كه احتمالاْ قضيه اساسي حسابان را اولين بار او ثابت كرد.)

6. نيوتن: صحبت كردن پيرامون نيوتن و كارهاي او ساده نيست. رياضيدان و فيزيكداني كه به گفته لاگرانژ بزرگترين نابغه اي است كه در جهان زيسته است. همچنين «لايبنيتز» رقيب سرسخت او در ستايشي بزرگ منشانه، نيمي از كارهاي انجام شده رياضي بشر تا عهد نيوتن را متعلق به نيوتن مي داند. انساني كه در ۲۳ سالگي به درجه اي رسيد كه مي توانست مماس و شعاع انحنا در يك نقطه از منحني را پيدا كند. روشي كه امروزه تحت عنوان حساب ديفرانسيل شناخته مي شود. در ۲۷ سالگي به استادي دانشگاه برگزيده شد و حدود ۶۵ سال در رياضيات و فيزيك كار كرد. پاپ دستاوردهاي نيوتن را بدين صورت بيان كرده است: «طبيعت و قوانين طبيعت در ظلمت نهفته بودند، ذات باري فرمود نيوتن به وجود آيد و همه چيز روشن شد.» البته نيوتن نيز خاضعانه در مقابل ستايشها مي گفت كه من همچون كودكي در حال بازي در كنار دريا هستم كه گاهي صدفهاي زيبايي توجهم را جلب مي كند اما اقيانوسي از حقايق كشف ناشده در مقابلم قرار دارد. يكبار هم گفت كه اگر افق ديد او گسترده تر از ديگران است بدين علت است كه بر دوش غولان ايستاده است و شايد منظور او از غولان، ارشميدس و امثال او باشند. كارهاي رياضي او به طور خلاصه به شرح زير است:

- تاليف كتاب« اصول رياضي فلسفه طبيعي» كه با اصرار «هالي» ستاره شناس معروف و با هزينه او در سال ۱۶۸۷ چاپ شد. اين كتاب به مطالعه دستگاه ديناميكي پديده هاي زميني و سماوي مي پردازد و يك صورت بندي رياضي از اين پديده هاست. اين كتاب پرنفوذ ترين اثر در تاريخ علم به حساب مي آيد و تاثير بسياري بر دنياي جديد داشت. تاريخ رياضيات ابتدايي اساساْ با آن پايان مي يابد.

- بسط روش بي نهايت كوچكها يا همان حساب ديفرانسيل و نيز روشهاي مربوط به سريهاي نامتناهي

- بسط روشهاي مربوط به ماكزيمم و مي نيمم توابع، مماس بر منحني ها، انحناي منحني ها، نقاط عطف، تحدب و تقعر منحني ها، محاسبه مساحتهاي زير منحني ها و طول قوس آنها

- ارائه روشي براي تقريب زدن مقادير ريشه هاي حقيقي يك معادله جبري يا غير جبري و نيز روشهاي زيبايي براي مطالعه منحني هاي درجه سوم

7. لايبنيتز: اين نابغه جامع رياضيات، فلسفه، الاهيات و حقوق، رقيب جدي نيوتن در ابداع حسابان بود. عقيده رايج امروز اين است كه نيوتن و لايبنيتز، حسابان را مستقل از يكديگر كشف كردند، اما لايبنيتز نتايج را زودتر انتشار داد، هر چند كه كشف نيوتن زودتر انجام شده است، اما متاسفانه مشاجره اسفباري بين اين دو بر سر تقدم در كشف حسابان در گرفت و هر كدام خود را موسس حساب ديفرانسيل و انتگرال مي دانست. هر دو نيز در اين مناقشه زيان ديدند، به ويژه نيوتن و رياضيدانان همعصر او در انگلستان. البته لازم است ذكر شود كه لايبنيتز را بزرگترين نابغه جامع قرن هفدهم مي نامند و ظاهراْ تنها شخص شناخته شده تاريخ رياضيات است كه هم در رياضيات پيوسته و هم در رياضيات گسسته داراي انديشه اي عالي بوده است. بد نيست بدانيم كه لايبنيتز در واقع يك سياستمدار و يك ديپلمات بود كه براي انجام كارهاي سياسي به كشورهاي ديگر سفر مي كرد. كارهاي او در رياضيات به طور خلاصه عبارتند از:

- ارائه قسمت مهمي از نمادهاي كنوني ما در حساب ديفرانسيل و انتگرال از قبيل نماد dx و dy/dx و علامت انتگرال كه از S كشيده Summa -يك كلمه لاتين به معناي مجموع- اقتباس شده است. هم اكنون از نمادهاي نيوتن آنچنان استفاده نمي شود.

- استخراج بسياري از قواعد مقدماتي مشتق گيري كه معمولاْ در ابتداي درس مشتق در سطوح مختلف دبيرستاني و دانشگاهي آموزش داده ميشود. قاعده يافتن مشتق n-ام حاصلضرب دو تابع را قاعده لايبنيتز مي ناميم (مراجعه كنيد به صفحه ۱۱۳ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).

- تلاش براي پايه گذاري نظريه پوشها و تعريف دايره بوسان براي اولين بار

- ارائه اولين ايده ها در منطق رياضي و نظريه مجموعه ها. او مجموعه تهي و احتواي مجموعه ها را نيز مطالعه كرده است و متوجه شباهتهاي نظريه مجموعه ها و منطق رياضي شده است (به طور مثال شباهت قوانين دمرگان در نظريه مجموعه ها و منطق).

- لايبنيتز احتمالا جزو اولين رياضيداناني است كه نظريه قدرتمند دترمينانها را براي حل دستگاه معادلات خطي پديد آورده اند.
|+| نوشته شده توسط مهدی تقیان در شنبه چهاردهم آبان 1390  |
 
کاربرد ریاضی در زندگی


بسیار پیش می آید که دانش آموزان پس از تدریس یک درس ، از ما می پرسند که این درس که امروز خواندیم ،به چه درد ما می خورد؟و کجامی توانیم ازآن استفاده کنیم ؟












کاربرد ریاضی در زندگی











بسیار پیش می آید که دانش آموزان پس از تدریس یک درس ، از ما می پرسند که این درس که امروز خواندیم ،به چه درد ما می خورد؟و کجامی توانیم ازآن استفاده کنیم ؟

ریاضیات به عنوان یک درس اصلی است که داشتن درک درست از آن در آینده ی تحصیلی دانش آموزان و طبعاً پیشرفت علمی کشور نقش مهمی دارد . همچنین شامل کلیه ارتباطات ریاضی با زندگی روزمرّه ، سایر علوم و کاربردهایی در زندگی علمی آینده ی دانش آموزاست .به این ترتیب دربرنامه درسی و آموزشی ، برقرار کردن پیوند ریاضیات با کاربردهایش در زندگی و سایر علوم از قبیل :هنر،علوم طبیعی ،علوم اجتماعی و . . . . باید مدّ نظر قرار گیرد . در صورتی که این موارد در آموزش دیده نشود ، این سؤ ال همیشه در ذهن دانش آموز باقی می ماند که:

« به چه دلیل باید ریاضی خواند ؟ » و« ریاضی به چه درد می خورد ؟ »

دراین مقاله سعی شده است که ارتباط دروس کتب ریاضی راهنمایی با سایر علوم و همچنین کاربرد آنها در دنیای امروز ی تا حدودی بررسی شود و ارائه گردد .

بین رشته های علمی ، که بشر در طول هزاران سال به وجود آورده ، ریاضیّات جای مخصوص و ضمناٌ مهمّی را اشغال کرده است . ریاضیّات با علوم فیزیک ، زیست شناسی ، اقتصاد و فنون مختلف فرق دارد . با وجود این به عنوان یکی از روشهای اصلی در بررسیهای مربوط به کامپیوتر ، فیزیک ، زیست شناسی ، صنعت واقتصاد بکار می رود ودرآینده بازهم نقش ریاضّیات گسترش بیشتری می یابد.

با وجود این مطلب ، برای آموزش جوانان هنوز از همان روشی استفاده می شود که سقراط و افلاطون ، حقایق عالی اخلاقی را برای شیفتگان منطق و فلسفه و برای علاقمندان سخنوری و علم کلام بیان می کردند . در حقیقت در درسهای حساب ، هندسه و جبر ،هرگز لزوم یادگیری آنها برای زندگی عملی خاطر نشان نمی شود. هرگز از تاریخ علم صحبتی به میان نمی آید. نظریه های سنگین علمی ، ولی هیچ نتیجه ای جز این ندارد که دانش آموزان را از علم بری کند و عدّه ی آنها را تقلیل دهد .

یکی ازراههای جدی برای حلّ مسئله توجه به تاریخ علم، گفتگو در باره ی مردان علم و ارتباط ریاضی با عمل است ، ارتباطی که در تمام دوران زندگی بشر هرگز قطع نشده است .

● کاربرد ارقام

در زمانهای قدیم هر قدمی که در راه پیشرفت تمدّن برداشته می شد، بر لزوم استفاده از اعداد می افزود . اگر شخصی گله ای از گوسفندان داشت ، می خواست آن را بشمرد ،یا اگر می خواست معبد یا هرمی بسازد ، باید می دانست که چقدر سنگ برای آن لازم دارد . اگر دارای زمین بود ، می خواست آن رااندازه گیری کند . اگر قایقش را به دریا می راند ، می خواست فاصله ی خود را از ساحل بداند . و بالاخره در تجارت و مبادله ی اجناس در بازارها ، باید ارزش اجناس حساب می شد.هنگامی که آدمی محاسبه با ارقام را آموخت ، توانست زمان ، فاصله مساحت ، حجم را اندازه گیری کند . با بکار بردن ارقام ، انسان بردانش و تسلّط خود بر دنیای پیرامونش افزود .

● کاربرد توابع و روابط بین اعداد

کاربرد روابط بین اعداد و توابع و نتیجه گیریهای منطقی در نوشتن الگوریتمها و برنامه نویسی کامپیوتری است .

مفهوم تابع یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است و در اصل تابع نوعی خاص از رابطه های بین دو مجموعه است . و با توجه به این که دنباله ها هم حالت خاصی از تابع است – تابعی که دامنه آن مجموعه ی اعداد { . . . و ۲ و ۱ و ۰ } است – دنباله های عددی در ریاضی و کامپیوتر کاربرد فراوان دارند . برای ساخت یک برنامه اساساٌ چهار مرحله را طی می کنیم :

۱) تعریف مسئله

۲) طراحی حل

۳) نوشتن برنامه

۴) اجرای برنامه

لازم به ذکر است که گردآیه هایی که در مرحله دوم حاصل می شود را اصطلاحاٌ الگوریتم می نامیم .که این الگوریتمهابه زبان شبه کد نوشته می شود ،که شبیه زبان برنامه نویسی است وتبدیل آنها به زبان برنامه نویسی را برای ما بسیار ساده می کند .

 « هیچ دانسته ی بشر را نمی توان علم نامید، مگر اینکه از طریق ریاضیّات توضیح داده شده و ثابت شود . » ( لئو ناردو داوینچی )

● کاربرد معادله و دستگاه معادلات خطی

دستگاه های معادلات خطی اغلب برای حساب کردن بهره ی ساده ،پیشگویی ، اقتصاد و پیدا کردن نقطه ی سر به سر به کارمیرود.

معمولاً هدف از حل کردن یک دستگاه معادلات خطی ، پیدا کردن محل تقاطع دو خط می باشد.در مسائل دخل و خرج که درمشاغل مختلف وجود دارد ، پیداکردن نقطه تقاطع معادلات خط یعنی همان پیدا کردن نقطه ی سر به سر.* در اقتصاد هم نقطه تقاطع معادلات خطی ، عبارتست از : قیمت بازار یا نقطه ای که در آن عرضه و تقاضا با هم برابر باشند.

● کاربرد تقارنها (محوری و مرکزی ) و دَوَرانها

مباحث تقارنها ودورانها که به تبدیلات هندسی معروف هستند،درصنعت و ساختن وسائل و لوازم زندگی استفاده می شوند . مثلاً در بافتن قالی و برای دادن نقش و نگار به آن از تقارن استفاده می شود . در کوزه گری و سفالگری از دوران محوری استفاده می شود . همچنین در معماریهای اسلامی اغلب از تقارنها کمک گرفته می شود . چرخ گوشت ، آب میوه گیری ، پنکه ، ماشین تراش ُ بادورانی که انجام می دهند ، تبدیل انرژی می کنند . علاوه بر آن تبدیلات هندسی برای آموزش مطالبی از ریاضی استفاده می شوند ،مانند : مفهوم جمع و تفریق اعداد صحیح با استفاده از بردار انتقال موازی محور.

▪ نقطه ی سر به سر : در بسیاری از مشاغل ، هزینه ی تولید Cو تعداد X کالای تولید شده را می توان به صورت خطی بیان کرد.به همین ترتیب ، در آمد R حاصل از فروش X قلم کالای تولیدشده را نیز می توان با یک معادله ی خطی نشان داد . وقتی هزینه ی C از در آمد R حاصل از فروش بیشتر باشد،این تولیدضررمی دهد. و وقتی در آمد R از هزینه ی C بیشتر باشد ،تولید سودمیدهد . و هر گاه در آمد R و هزینه ی C مساوی باشند ،سود و زیانی در بین نیست و نقطه ای که در آن R=C باشد، نقطه ی سربه سر نامیده می شود .

● کاربرد مساحت

مفهوم مساحت و تکنیک محاسبه مساحت اشکال مختلف ، از اهمّ مطالب هندسه است .به سبب کاربرد فراوانی که در زندگی روزمرّه مثلاً برای محاسبه ی مساحت زمینها با اَشکال مختلف . و همچنین درفیزیک و جغرافیاوسایر دروس دانستن مساحتهالازم به نظرمی رسد .

● کاربرد چهار ضلعیها

شناخت چهارضلعیها و و دانستن خواص آنها ، برای یادگیری مفاهیم دیگر هندسه لازم است و ضمناً در صنعت و ساخت ابزار و وسائل زندگی و همچنین برای ادامه تحصیل وهمینطور در بازار کار نیاز به دانستن خواص چهارضلعیها احساس می شود .

● کاربرد خطوط موازی و تشابهات

از خطوط موازی و مخصوصاً متساوی الفاصله ، در نقشه کشی و ترسیمات استفاده می شود .و در اثبات احکامی نظیر قضیه تالس۱ و عکس آن ، همچنین تقسیم پاره خط به قطعات متساوی یامتناسب .

تشابهات نیز از مفاهیم مهم هندسه و اساس نقشه برداری ،کوچک و بزرگ کردن نقشه ها و تصاویر و عکسها می باشد .

مبحث تشابهات درهندسه دریچه ای است به توانائیهای جدیدبرای درک و فهم و کشف مطالب تازه ی هندسه ،به همین سبب آموزش خطوطمتوازی و متساوی الفاصله و مثلثهای متشابه به حد نیاز دانش

آموز مقطع راهنمایی لازم است .

۱) تالس دانشمند یونانی نشان داد که به وسیله ی سایه ی یک شیء و مقایسه ی آن با سایه ی یک خط کش می توان ارتفاع آن  شیء را اندازه گرفت . با استفاده از اصولی که تالس ثابت کرد ،می توان بلندی هر چیزی را حساب کرد . تنها چیزی که نیاز دارید ، یک وسیله ی ساده اندازه گیری است که می توانید[آن را ] از یک قطعه مقواو تکه ای چوب درست کنید.( مراجعه شودبه کتاب درجهان ریاضیات نوشته ی اریک او بلاکر – صفحه ی ۳۰ )

تالس در زمان خود به کمک قضیه ی خودارتفاع اهرام مصررامحاسبه کرد همچنین وقتی از مصر به یونان بازگشت ، فاصله ی یک کشتی را از ساحل به کمک قضیه خود اندازه گرفت .روش دیگری هم برای

محاسبه بلندی وجود دارد وآن استفاده از نسبتهای مثلثاتی است.

 ● کاربرد آمار و میانگین

وقتی کسی از مقادیر عددی کمک می گیرد ، تا یک موقعیّت را توضیح دهد ، او وارد قلمرو آمار شده است . آمار معمولاً اثر تعیین کننده ای دارد . اگر چه ممکن است مفید یا گمراه کننده باشد . ما عادت کرده ایم، که پدیده های زیادی نظیرموارد زیر را با توجه به آمار ، پیش بینی کنیم :

احتمال پیروزی یک کاندیدای ریاست جمهوری،وضعیت اقتصادی(تورم،در آمد ناخالص ملی ، تعداد بیکاران ،کم وزیادشدن نرخ بهره هاونرخ سهام ، بازار بورس ، میزان بیمه ، آمار طوفان،جذر و مد) و غیره .

قلمرو آمار به طور مرتب درحال بزرگ شدن است.آمار می توانددر موارد زیادی ، برای قانع کردن مردم و یا انصراف آنهااز یک تصمیم موءثّر باشد . به عنوان مثال : اگر افراداحساس کنند که رأی آنها نتیجه ی انتخابات را تغییر نخواهد داد ، ممکن است ازشرکت در انتخابات صرفنظر کنند .

در عصر ما آمار ابزار قوی و قانع کننده است،مردم به اعدادمنتشر شده ی حاصل از آمار گیری ،اعتماد زیادی نشان می دهند.

به نظر می رسد وقتی یک وضعیت وموقعیت باتوسل به مقادیر عددی توصیف می شود ، اعتبار گزارش در نظر مستمعین بالا می رود .

● مقاطع مخروطی

در هوای گرم بستنی بسیار خوشمزه ودلچسب است .بخصوص اگر بستنی قیفی داشته باشید ودر حالی که روی یک صندلی و در سایه درختی نشسته باشید و فارغ از جار و جنجال روزگار ، به خوردن بستنی  مشغول باشید. شاید همه چیز از ذهن شما بگذردمگرهمان بستنی قیفی که مشغول خوردن آن هستید .

این مطلب توجه یک ریاضیدان بلژیکی خوش ذوق رابه خودجلب کرد و آن رابرای توضیح یکی ازمطالب مهم ریاضی[یعنی مقاطع مخروطی]بکار برد . واقعاً جالب است مگه نه ؟

مقاطع مخروطی یکی از مباحث مهم و کاربردی در ریاضیات بوده وهست .

● ترسیمات هندسی

در ترسیمات و آموزش قسمتهای دیگر هندسه، نیاز فراوان به شناخت دایره و اجزاو خواص آن پیدا می شود ، لذا در دوره ی راهنمایی ، مفهوم دایره ،وضع نقطه و خط نسبت به دایره،زاویه مرکزی ، زاویه محاطی و تقسیم دایره به کمانهای متساوی آموزش داده می شود و به این ترتیب دانش آموز برای یادگیری مطالب بعدی و استفاده ی عملی از آنها آماده می شود . (همچنین من فکرمیکنم از زاویه ی محاطی و اندازه ی آن برای نورپردازی در سالنهااستفاده می شود . )

● کاربرد ریاضیات در هنر و کامپیوتر

تاریخ نشان می دهد که در طی قرون ، هنرمندان وآثارشان تحت تأثیرریاضیات قرار گرفته اند ،و زیبائی اثرشان به آگاهی آنها از این دانش بستگی داشته است .ماهم اکنون استفاده ی آگاهانه از مستطیل طلایی ، و نسبت طلایی را در هنر یونان باستان ، به ویژه درآثارپیکرتراش یونانی« فیدیاس »دقیقآ مشاهده می کنیم.

مفاهیم ریاضی از قبیل نسبتها ، تشابه، پرسپکتیو، خطای باصره تقارن ، اشکال هندسی ، حدود و بینهایت در آثار هنری موجوداز قدیم تا به امروز مکمل زیبایی آنها بوده است . و اکنون نیز « کامپیوتر » به کمک ریاضیات هنر را ازابتدایی تامدرن توسعه می دهد.

اگر آگاهی هنرمندان باریاضیات واستفاده ی عملی از ان نبود،برخی از آثار هنری خلق نمی شدند . بهترین نمونه ی آن تصاویر موزائیکی هنرمندن مسلمان وگسترش این شکلهای هندسی به وسیله ی

« M.S.Esher » جهت نشان دادن اجسام متحرک است .اگر هنرمندان به مطالعات توجهی نداشتندوخصوصیات اشکال را از نظر تطابق،تقارن انعکاس ،دوران ، انتقال و . . . کشف نکرده بودند ، خلق این همه آثار هنری امکان پذیر نبود .

« هنر ریاضیات ،هنرپرسیدنِِِ پرسشهای درست است وقطعه ی اصلی کار در ریاضیات تخیل است و آن چه که این قطعه ی اصلی رابه حرکت درمی آوردمنطق می باشدوامکان استدلال

منطقی آن زمان پدید می آیدکه ما پرسشهای خود رادرست مطرح کرده باشیم.» (نوربرت ونیز )

● کاربرد حجم

به سبب نیازی که دانش آموز در زندگی روز مرّه و همین طور در بکار گیری آن در سایر علوم نظیر ، شیمی ، فیزیک ،زیست شناسی و مخصوصاً هنر برایش پیش می آید،همچنین در شغلهایی که در جامعه وجود دارد و یا در ادامه تحصیل دانستن دستورهای محاسبه ی حجماجسام ، یادگیری مبحث حجم ضروری به نظر می رسد .

● کاربرد رابطه ی فیثاغورس

فیثاغورث در باره ی رابطه های عددی که درساختمانهای هندسی وجود دارد تحقیق می کرد . او مثلث معروف به مثلث مصری را ، که ضلعهای آن با عددهای ۳و۴و ۵ بیان می شود ، را می شناخت .

مصریها می دانستند که چنین مثلثی قائم الزاویه است .و ازآن برای تعیین زاویه های قائمه در تجدید تقسیم بندی زمینهای اطراف نیل ،که هر سال بر اثر طغیان آب شسته می شد ، استفاده می کردند.

یکی از مشکلترین مسائل در ساختن اهرام و معبدها ،طرح شالوده بنا به شکل مربع کامل بود که هم تراز باسطح افق باشد . جزئی اشتباه به قیمت از شکل افتادن همه ی بنا تمام می شد .

مصریان این مشکل رابا ساختن شاقول از میان برداشتند. نخستین شاقول احتمالاً تکه ریسمان یا نخی بود که وزنه ای به آن آویخته بودند و ان را در برابر بنا می گرفتند تا وزنه ی آن به زمین صاف برسد . در این حالت نخ می بایست کاملاً عمودیا شاقول باشد و زاویه ی بین آن و زمین صاف یک زاویه ی قائمه بسازد.

همچنین معماران کشف کردندکه چگونه می توان با ریسمان های اندازه گیری که درفاصله های مساوی گره خورده بودند، مثلثهای قائم الزاویه ای بسازند و این مثلثها را راهنمای خویش در ساختن گوشه ها ( نبش ها )ی بنا قرار دهند .

● جمع بندی و نتیجه گیری

بدون شک مهمترین هدف ما از بیان مطالب بالا این است که بتوانیم دانش آموزان را با اهداف کتب ریاضی آشنا کنیم و آنها را نسبت به ریاضیات علاقمند کنیم . تجربه نشان داده است که حتی در رشته های فنی ، مانند خیاطی هم اهداف پرورشی ریاضی اهمیت دارند به همین خاطر دربرنامه ی درسی تمام رشته های تحصیلی درس ریاضی گنجانده شده است .

در کتب جدید ریاضی سعی شده است که مطالب طوری بیان شوند که دانش آموز نفهمیده مطلبی را نپذیرد.هر چند بعضی مطالب شهودی است.ولی دانش آموز از طریق درک مفاهیم درس یاد می گیرد و به

تدریج با فرایندتفکر ریاضی آشنا می شود .معلمین هم باید به این نکته توجه داشته باشند و تصور نکنند که هدف آموزش ریاضی فقط در یاد دادن چند قاعده و حل ماشینی مسائل خلاصه می شود


|+| نوشته شده توسط مهدی تقیان در دوشنبه نهم آبان 1390  |
 

|+| نوشته شده توسط مهدی تقیان در دوشنبه نهم آبان 1390  |
 
این وبلاگ به منظور علم و دانش ساخته شده
|+| نوشته شده توسط مهدی تقیان در شنبه هفتم آبان 1390  |
 
 
بالا